三维设计江苏专用2017届高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测文.doc

第三章 导数及其应用 第一节导数的概念与计算 1．导数的概念 (1)平均变化率 一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为. (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 定义： 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若Δx无限趋近于0时，此值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)． 几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 (sin x)′＝cos_x，(cos x)′＝－sin_x，(ax)′＝axln_a， (ex)′＝ex，(logax)＝，(ln x)′＝. 3．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． [小题体验] 1．(教材习题改编)一次函数f(x)＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为________． 解析：由题意得函数f(x)＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为＝k. 答案：k 2．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋5，则f(3)＝________，f′(3)＝________. 解析：由图知切点为(3,2)， 切线斜率为－1. 答案：2　－1 3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________. 解析：由f(x)＝x＋ln x(x0)，知f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2. 答案：2 4．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axln x，x(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________． 解析：f′(x)＝a＝a(1＋ln x)． 由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3. 答案：3 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者． 3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． [小题纠偏] 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝________. 解析：对关系式f(x)＝2xf′(e)＋ln x两边求导，得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝－. 答案：－ 2．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝________. 解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，所以f′(2)＝4＋3f′(2)，所以f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，所以f(2)＝22－6×2＝－8. 答案：－8 3．已知定义在R上的函数f(x)＝ex＋x2－x＋sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是________． 解析：令x＝0，得f(0)＝1.对f(x)求导，得f′(x)＝ex＋2x－1＋cos x，所以f′(0)＝1，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1. 答案：y＝x＋1 [题组练透] 求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋； (3)y＝； (4)y＝＋. 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝′ ＝(ln x)′＋′ ＝－. (3)y′＝′ ＝ ＝－. (4)∵y＝＋＝， y′＝′ ＝＝. [] 求函数导数的种原则 [] 导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题． 常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值． [] 角度一：求切线方程 1．(2016·南通调研)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________． 解析：f(x)＝x3－2x2＋x＋6， f′(x)＝3x2－4x＋1， f′(－1)＝8， 故切线方程为y－2＝8(x＋1)， 即8x－y＋10＝0， 令x＝