信号与系统-第四章.ppt

第4章 连续时间傅里叶变换The Continuous time Fourier Transform 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，如果将任何非周期信号进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。 我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。 带有尺度变换的时移特性 调幅信号的频谱（载波技术） 证明: y(t) ? 　输入信号通过LTI系统后，输出信号是否会增 　 加新的频率分量？ 1、定义 a、 b、 二. LTI系统的频率响应: 用微分方程表征的连续线性时不变(CLTI)系统: 对方程两端作FT,有: 所以 例2： 可见，对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。 解: 对方程两端作FT,有: 所以 对方程两边进行FT变换，可得到: 用差分方程表征的离散线性时不变(DLTI)系统: 可见 是一个有理函数。当需要得到 时, 往往是先从方程得到 进而通过反变换得到 。 所以 Note: 只有系统是稳定系统时,才存在频率响应。 2、频率响应存在条件 与 以及 是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应 都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。 这表明周期性复指数信号的频谱是一个冲激。 当把周期信号表示为傅里叶级数时，因为 则 周期信号的傅里叶变换表示 若 则 考查 这表明：周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅里叶级数的系数 。 例1： 周期信号的FT: 例2： 例3： 均匀冲激串 4.3 傅里叶变换的性质 Properties of the Fourier Transform 　 讨论傅里叶变换的性质，旨在通过这些性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系，同时掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对的求取。 1. 线性: Linearity 则 若 FT FT FT 连续时间信号: 离散时间信号: 2. 时移: Time Shifting 　这表明信号的时移只影响它的相频特性，其相频特性会增加一个线性相移。 则 若 若 则 连续时间信号: 离散时间信号: Time shifting property 例1: ? 例2: ≮ ≮ ≮ ≮ 所以 即 由 可得 3. 共轭及共轭对称性质: Conjugate and Symmetry 证明: 若 则 连续时间信号: 即实部是偶函数 虚部是奇函数 若 则可得 若 是实信号，则 于是有: 实信号的正负频率成份互为共轭对称。 即：模是偶函数，相位是奇函数 若 则可得出 ≮ ≮ ≮ 0 ≮ ≮ ≮ 如果 ,信号是实偶函数。则 表明 是实偶函数。 所以 又因为 若 ,信号是实奇函数，同样可以得出: 是虚奇函数。 4. 微分与积分: Differentiation and Integration 则 若 证明: 微分: 时域微分性质: 由 得 所以 频域微分特性: 连续时间信号: 离散时间信号: 时域积分性质: FT 5.时域和频域的尺度变换: Scaling 尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍，则其带宽相应压缩 a 倍，反之亦然。 则 若 若 则 时域反转 (reflaction): 当 时，有 1 0 1 0 0 0 不同脉冲宽度对频谱的影响 可见，信号在时域和频域之间有一种相反的关系。 例4: 0 ≮ ≮ ? 已知x(t)的带宽为B,则x(at)的带宽为: (1)B (2)B/|a| (3) |a| B 对偶性 6.对偶性: Duality property 若 则 证明： FT Duality property 例5: 1 0 2π ? 频移 证明: 7.频移特性: 这就是频移性质 例6： 0 频移 A A/2 0 例7： x(t) 1 8. Parseval定理: 若 则 这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于 表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。 连续时间信号: 离散时间信号: 若 则 4.