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2013年北京高考数学(理科)试卷

2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理)本试卷共5页,150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)已知集合,,则()A.B.C.D.(2)在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)“”是“曲线过坐标原点”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A.1B.C.D.(5)函数的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线对称,则A.B.C.D.(6)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为()A.B.C.D.(7)直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于()A.B.2C.D.(8)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点,满足,求得m的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.(9)在极坐标系中,点到直线的距离等于___________.(10)若等比数列满足,,则公比___________,前n项和___________.(11)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若,,则___________,___________.(12)将序号分别为1,2,3,4,5,的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是___________.三、解答题15、在△ABC中,,,.(1)求的值;(2)求c的值.16、下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分步列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明).17、如图,在三棱柱中,是边长为4的正方形.平面⊥平面,,.(1)求证:⊥平面;(2)求证二面角的余弦值;(3)证明:在线段上存在点,使得,并求的值.18、(本小题共13分)设l为曲线在点处的切线.(1)求l的方程;(2)证明:除切点之外,曲线C在直线l的下方.19、(本小题共14分)已知A,B,C是椭圆上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.20、已知是由非负整数组成的无穷数列,设数列前n项的最大值为,第n项之后各项,,…的最小值记为,.(1)若为2,1,4,3,2,1,4,3,…是一个周期为4的数列,写出、、、的值;(2)设d是非负整数,证明:的充分必要条件是是公差为d的等差数列;(3)证明:若,,则的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.参考答DACD BCC一、选择题二、填空题9 . 110. 2,11. ,412. 9613. 414. 三、解答题15、解析:(1)由条件可以看出,已知两角关系,求角,明显应用正弦定理解决问题.即.(2)由已知两边和角求第三边,所以我们应用余弦定理求解.,即,所以或(舍)16、解析:(1);(2)X012P(3)5,6,7三天17、解析:(1).由(2)建立如图所示的空间直角坐标系,,,.,,,.设平面的法向量为,平面的法向量为,所以,,(3)设点D的竖坐标为,在平面中作于E,根据比例关系可知,,所以,.又∵,∴,∴,∴.18、解:(1),于是,因此l的方程为;(2)只需要证明,且时,.设,,则,因此在上单调递减,在上单调递增.进而,即原命题得证.19、解析:(1)线段OB的垂直平分线为,因此,进而菱形面积为.(2)四边形OABC不可能是菱形.只需要证明若,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.设,则A、C为圆与椭圆的交点.因此,于是结论得证20、解:(1),,,.(2)充分性:若是公差为d的等差数列,则.于是,.因此.必要性:若,假设是第一个使得的项,则,与矛盾.因此是不减的数列.进而,即,因此是公差为d的等差数列.(3)1°:首先中的项不能是0,否则,矛盾.2°:中的项不能超过2,用反证法证明如下:若中有超过2的项,设是第一个大于2的项.中一定存在项为1,否则与矛盾;当时,,否则与矛盾;因此存在最大的i在2到之间,使得,此时,矛盾.综上,中没有超过2的项.

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