数值分析例题详解.docVIP

1. 用矩阵的直接三角分解法解方程组 解：设 由矩阵的乘法可以求出 ， 解下三角方程组 可得 。 再解上三角方程组 可得 。 2. 设有迭代格式 其中 ， 试证明该迭代格式收敛，并取，计算 证明：（1）设为的特征值，则，即 ， 故 。所以，从而迭代法收敛。 （2）由计算可得 3. 给定线性方程组 问用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解是否收敛？ 解：所给线性方程组的系数矩阵为 （1）雅可比迭代矩阵的特征方程为 因为 ，故雅可比迭代法发散。 （2）高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵的特征方程为 因为 ，故高斯-赛德尔迭代法发散。 4. 给定方程， 证明方程在[1，2]内有且仅有一个根； 用迭代法求出方程的根，精确到5位有效数字； 说明所用迭代法是收敛的。 证明：（1）因为 所以由零点存在定理知方程在[1，2]内有一根。 又由，可得方程在[1，2]内只有一个根。 （2）将方程改写为 构造迭代格式 ， 计算可得 ， 所以。 （3）记，则，当时， , 又，所以迭代格式 对任意均收敛。 5、给出下列函数表，求的牛顿插值多项式给余项。 1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 解：（1）构造差商表： 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 1 4 2 1 -3 4 0 -4/3 5/6 6 1 -3/5 3/5 -7/60 7 1 -1/2 1/2 -1/9 1/180 （2）由差商表可得4次牛顿插值多项式为 （3）插值余项为 6. 利用显式欧拉公式求解初值问题，其中步长 。 解：