南通市2013届高三第一次调研测试数学I参考 答案及评分标准.docVIP

南通市2013届高三第一次调研测试数学I （考试时间：120分钟 满分：160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上． 1．已知全集U=R集合，则．． 2．已知复数(i是虚数单位，则复数所对应的点位于复平面的第象限 3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是． 4．定义在R上函数对任意xR都有，当 时，， 则． 5．已知命题：正数a的平方不等于0，命题：若a不是正数，则它的平方等于0，则是的．（从逆命题、否命题、逆否命题、否定中选一个填空）答案：否命题． 6．已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为． 7．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，则a5与a7的等比中项为．． 8．已知实数，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为． 9．在△ABC中，若AB=1，AC=，，则=． 10．已知，，且，则的为．11．在点(1，f(1))处的切线方程为 ▲ ． 答案：． 12．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为cm． 答案：－1.5． 13．y=ax+3与圆相交于A，B在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为 ▲ ． 答案：． 14．设为函数图上一动点，记，则当最小时，点 P的坐标为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分) 正三棱柱是侧面对角线的交点侧面对角线的交点是棱的中点求证 （1）平面 （2）平面 解：（1）连结 因为分别是侧面和侧面的对角线的交点， 所以分别是的中点 所以平面中，平面中， 故平面 （2）因为三棱柱为正三棱柱， 所以平面． 故由得 又因为是棱的中点，且为正三角形，． 故由得 而，平面，所以平面又平面，故平面平面16.（本题满分14分） △ABC中，的边分别为， （1）求角C的大小； （2）若△外接圆直径为1，求的取值范围． (1)因为，即， 所以， 即 ， 得 所以或(不成立) 即 , 得 (2)由 因， 故=． …………………11分 ，故． 17.（本题满分14分） 某公司为一家制冷设备厂设计生产种长方形薄板，其周长为4米这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示，为长方形薄板，沿折叠，交于△ADP的面积最大时最节能，多边形的面积最大时制冷效果最好． （1）设米，用表示图中的长度； （2）要最节能，应怎样设计薄板的长和宽 （3）要制冷效果，应怎样设计薄板的长和宽，，． …………2分 设，． 因△≌△，． 由 ，， （2）记△的面积为 ………………………………………………6分 ， 当且仅当时薄板米，宽为米时，节能效果最好． …………………9分 （3）记△的面积为，， 于是，．……………………11分 关于的函数在上递增，在上递减时，薄板米，宽为米时，制冷效果最好． …………………14分 18.（本题满分16分） 数列{an}中，a2=1，前n项和为Sn，且． 1）求a1； 证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式； 设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由． (1)令n=1，则a1=S1==0． (2)由，即， 得． ②－，得 ． 于是，． ③+④，得，即． 又a1=0，a2=1，a2－a1=1， 所以，数列{an}是以0为首项，1为公差的等差数列． 所以，an=n－1． (3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列， 于是，． 所以，()． 易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解． 当p≥3，且pN*时，0，故数列{}(p≥3)为递减数列， 于是≤0，所以此时方程()无正整数解． 综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．在得到式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n≥2的情形予以说明的，扣1分．19.（本题满分16分） 已知左焦点为F(－1，0)的椭圆过点E(1，)．过点P(1，1)分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点． 求椭圆的标准方程； 若P为线段AB的中点，求k1； 若k1+k2=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标． 依题