2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题(湖南卷).docVIP

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分． 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件，为了解它们的产品质量是否存在瑕疵，现采用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则（ ） A．9 B．10 C．12 D．13 4．已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．在锐角中，角，所对的边长分别为，.若，则角 等于（ ） A． B． C． D． 6．函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A． B．1 C． D． 8．已知，是单位向量，，若向量满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，第小题5分，共30分． 10．已知集合，，，则 ． 11．在平面直角坐标系中，若直线：，（为参数）和直线：（为参数）平行，则常数的值为 ． 12．执行如图1所示的程序框图，如果输入，，则输出的的值为 ． 13．若变量，满足约束条件，则的最大值为 ． 14．设，是双曲线：（，）的两个焦点，若在上存在一点，使，且，则的离心率为 ． 15．对于的子集，定义的“特征数列”为，，…，，其中，其余项均为0，例如：子集的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0. （1）子集的“特征数列”的前3项和等于 ； （2）若的子集的“特征数列”，，…，满足，，；的子集的“特征数列”，，…，满足，，，则的元素个数为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数． （I）求的值； （II）求使成立的的取值集合． 17．（本小题满分12分） 如图2，在直棱柱中，，，，是的中点，点在棱上运动． （I）证明：； （II）当异面直线，所成的角为时，求三棱锥的体积． 18．（本小题满分12分） 某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相 同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种 作物的年收获（单位：）与它的“相近” 作物株数之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线 距离不超过1米. （I）完成下表，并求所种作物的平均年收获量： 51 48 45 42 频数 4 （II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48的概率． 19．（本小题满分13分） 设为数列的前项和，已知，，． （I）求，，并求数列的通项公式； （II）求数列的前项和． 20．（本小题满分13分） 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点． （I）求圆的方程； （II）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，，当最大时，求直线的方程． 21．（本小题满分13分） 已知函数． （I）求的单调区间； （II）证明：当（）时，.