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2013年南昌市高中数学竞赛试卷及答案详解
2013年南昌市高中数学竞赛试卷
6月29日上午8:30 — 11:00
【说明】:凡是题号下标志有“高一”的,为高一考生试题;题号下标志有“高二”的,为高二考生试题;凡未作这种标志的,则为全体考生试题
一、填空题(每小题分,共分)
、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第个数字是 .
、(高一)设等比数列的前项和,则其公比 .
(高二)若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是 .
、(高一)等差数列与的相同的项之和为 .
(高二)正四棱锥中,,
是的重心,则四面体的体积是 .
、(高一)满足的实数的集合是 { }.
(高二)函数的最大值是 .
、若为正数,表示的整数部分,而,如果顺次组成等比数列,则 .
、(高一)是不同的正整数,若集合,
为正整数,则的最小值是 .
、函数的最小值是 .
、若,,则
.
二、解答题(共分)
、(分)如图,过的三个顶点各作其外接圆的切线,分别与相应顶点的对边所在直线相交,证明:三个交点共线.
、(分)数列满足:,
、写出数列前个项的值; 、对任意正整数,求的表达式.
、(分)盒中装有红色和蓝色纸牌各张,每色纸牌都含标数为的牌各一张,两色纸牌的标数总和记为;
对于给定的正整数,若能从盒中取出若干张牌,使其标数之和恰为,便称为一种取牌方案,不同的方案种数记为;
试求之值.
2013年南昌市高中数学竞赛试题解答
【说明】:凡是题号下标志有“高一”的,为高一考生试题;题号下标志有“高二”的,为高二考生试题;凡未作这种标志的,则为全体考生试题
一、填空题(每小题分,共分)
、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第个数字是 .
答案:.
解:全体一位数共占据个数位,全体两位数共占据个数位,接下来是顺次排列的三位数,由于,而,因,所以第个数字是三位数的末位数字,即为.
、(高一)设等比数列的前项和,则其公比 .
答案:.
解:,当时,,
(高二)若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是 .
答案:.
解:由,得,又据,得,所以
,则,所以.
、(高一)等差数列与的相同的项之和为 .
答案:.
解:等差数列,的第一个相同项是,最后一个相同项是,而以为公差,以为公差,所以,构成以为首项,
为末项,且公差为的等差数列,公共项个数为,所以公共项的和为.
(高二)正四棱锥中,,是的重心,则四面体的体积是 .
答案:.
解:设交于,则,所以;若是四棱锥的高,则,,正方形面积为,所以,
的面积为,故四面体体积为,
又由,所以四面体体积为,于是四面体的体积为:.
、(高一)满足的实数的集合是 { }.
答案:.
解:数形结合,将其视为求
与交点的横坐标,如图;由于
,仅当时,
,此时方有交点,
当,,由得,
当,,,得.
(高二)函数的最大值是 .
答案:.
解:将函数式看作定点与动点连线的斜率;而动点的轨迹是一个单位圆,设过点的直线方程为,即,
当斜率取最大值时,该直线应是单位圆的一条切线,于是原点到该直线距离为,
即有,所以,因此最大值为.
、若为正数,表示的整数部分,而,如果顺次组成等比数列,则 .
答案:.
解:改记,由等比,,而,所以
,,,由于,则为正整数,
且只有,从而,所以.
、(高一)是不同的正整数,若集合,
为正整数,则的最小值是 .
答案:.
解:由偶数,所以两奇一偶;即为奇数,显然,不妨设,如果,则由得
,此时导致,矛盾!
所以,当时,由,解得,
这时,.
、函数的最小值是 .
解:由于的中间一数为,当时,函数取得最小值
.
、若,,则
.
答案:.
解:将条件式平方得,
,,
两式相加得;两式相减得:
;
因此,
.
二、解答题(共分)
、(分)如图,过的三个顶点各作其外接圆的切线,分别与相应顶点的对边所在直线相交,证明:三个交点共线.
证:据梅尼劳斯逆定理,只要证
;由弦切角关系,
,
由∽,得;
同理,由∽,得,
由∽,得
所以,因此共线.
、(分)数列满足:,
、写出数列前个项的值; 、对任意正整数,求的表达式.
解:、顺次算出:;
、因为,,
所以
.
所以, ,
,
… …,
,
,
相加得,.
、(分)盒中装有红色和蓝色纸牌各张,每色纸牌都含标数为的牌各一张,两色纸牌的标数总和记为;
对于给定的正整数,若能从盒中
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