2013年南昌市高中数学竞赛试卷及答案详解.docVIP

2013年南昌市高中数学竞赛试卷 6月29日上午8:30 — 11:00 【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题 一、填空题（每小题分，共分） 、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第个数字是 ． 、（高一）设等比数列的前项和，则其公比 ． （高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 ． 、（高一）等差数列与的相同的项之和为 ． （高二）正四棱锥中，， 是的重心，则四面体的体积是 ． 、（高一）满足的实数的集合是 { }． （高二）函数的最大值是 ． 、若为正数，表示的整数部分，而，如果顺次组成等比数列，则 ． 、（高一）是不同的正整数，若集合， 为正整数，则的最小值是 ． 、函数的最小值是 ． 、若，，则 ． 二、解答题（共分） 、（分）如图，过的三个顶点各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点共线． 、（分）数列满足：， 、写出数列前个项的值； 、对任意正整数，求的表达式． 、（分）盒中装有红色和蓝色纸牌各张，每色纸牌都含标数为的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为； 对于给定的正整数，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为，便称为一种取牌方案，不同的方案种数记为； 试求之值． 2013年南昌市高中数学竞赛试题解答 【说明】：凡是题号下标志有“高一”的，为高一考生试题；题号下标志有“高二”的，为高二考生试题；凡未作这种标志的，则为全体考生试题 一、填空题（每小题分，共分） 、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，则从左至右的第个数字是 ． 答案：． 解：全体一位数共占据个数位，全体两位数共占据个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于，而，因，所以第个数字是三位数的末位数字，即为． 、（高一）设等比数列的前项和，则其公比 ． 答案：． 解：，当时，， （高二）若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是 ． 答案：． 解：由，得，又据，得，所以 ，则，所以． 、（高一）等差数列与的相同的项之和为 ． 答案：． 解：等差数列，的第一个相同项是，最后一个相同项是，而以为公差，以为公差，所以，构成以为首项， 为末项，且公差为的等差数列，公共项个数为，所以公共项的和为． （高二）正四棱锥中，，是的重心，则四面体的体积是 ． 答案：． 解：设交于，则，所以；若是四棱锥的高，则，，正方形面积为，所以， 的面积为，故四面体体积为， 又由，所以四面体体积为，于是四面体的体积为：． 、（高一）满足的实数的集合是 { }． 答案：． 解：数形结合，将其视为求 与交点的横坐标，如图；由于 ，仅当时， ，此时方有交点， 当，，由得， 当，，，得． （高二）函数的最大值是 ． 答案：． 解：将函数式看作定点与动点连线的斜率；而动点的轨迹是一个单位圆，设过点的直线方程为，即， 当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于是原点到该直线距离为， 即有，所以，因此最大值为． 、若为正数，表示的整数部分，而，如果顺次组成等比数列，则 ． 答案：． 解：改记，由等比，，而，所以 ，，，由于，则为正整数， 且只有，从而，所以． 、（高一）是不同的正整数，若集合， 为正整数，则的最小值是 ． 答案：． 解：由偶数，所以两奇一偶；即为奇数，显然，不妨设，如果，则由得 ，此时导致，矛盾！ 所以，当时，由，解得， 这时，． 、函数的最小值是 ． 解：由于的中间一数为，当时，函数取得最小值 ． 、若，，则 ． 答案：． 解：将条件式平方得， ，， 两式相加得；两式相减得： ； 因此， ． 二、解答题（共分） 、（分）如图，过的三个顶点各作其外接圆的切线，分别与相应顶点的对边所在直线相交，证明：三个交点共线． 证：据梅尼劳斯逆定理，只要证 ；由弦切角关系， ， 由∽，得； 同理，由∽，得， 由∽，得 所以，因此共线． 、（分）数列满足：， 、写出数列前个项的值； 、对任意正整数，求的表达式． 解：、顺次算出：； 、因为，， 所以 ． 所以， ， ， … …， ， ， 相加得，． 、（分）盒中装有红色和蓝色纸牌各张，每色纸牌都含标数为的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为； 对于给定的正整数，若能从盒中