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2013年南昌市高中数学竞赛试卷及答案详解

2013年南昌市高中数学竞赛试卷 6月29日上午8:30 — 11:00 【说明】:凡是题号下标志有“高一”的,为高一考生试题;题号下标志有“高二”的,为高二考生试题;凡未作这种标志的,则为全体考生试题 一、填空题(每小题分,共分) 、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第个数字是 . 、(高一)设等比数列的前项和,则其公比 . (高二)若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是 . 、(高一)等差数列与的相同的项之和为 . (高二)正四棱锥中,, 是的重心,则四面体的体积是 . 、(高一)满足的实数的集合是 { }. (高二)函数的最大值是 . 、若为正数,表示的整数部分,而,如果顺次组成等比数列,则 . 、(高一)是不同的正整数,若集合, 为正整数,则的最小值是 . 、函数的最小值是 . 、若,,则 . 二、解答题(共分) 、(分)如图,过的三个顶点各作其外接圆的切线,分别与相应顶点的对边所在直线相交,证明:三个交点共线. 、(分)数列满足:, 、写出数列前个项的值; 、对任意正整数,求的表达式. 、(分)盒中装有红色和蓝色纸牌各张,每色纸牌都含标数为的牌各一张,两色纸牌的标数总和记为; 对于给定的正整数,若能从盒中取出若干张牌,使其标数之和恰为,便称为一种取牌方案,不同的方案种数记为; 试求之值. 2013年南昌市高中数学竞赛试题解答 【说明】:凡是题号下标志有“高一”的,为高一考生试题;题号下标志有“高二”的,为高二考生试题;凡未作这种标志的,则为全体考生试题 一、填空题(每小题分,共分) 、将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排,则从左至右的第个数字是 . 答案:. 解:全体一位数共占据个数位,全体两位数共占据个数位,接下来是顺次排列的三位数,由于,而,因,所以第个数字是三位数的末位数字,即为. 、(高一)设等比数列的前项和,则其公比 . 答案:. 解:,当时,, (高二)若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是 . 答案:. 解:由,得,又据,得,所以 ,则,所以. 、(高一)等差数列与的相同的项之和为 . 答案:. 解:等差数列,的第一个相同项是,最后一个相同项是,而以为公差,以为公差,所以,构成以为首项, 为末项,且公差为的等差数列,公共项个数为,所以公共项的和为. (高二)正四棱锥中,,是的重心,则四面体的体积是 . 答案:. 解:设交于,则,所以;若是四棱锥的高,则,,正方形面积为,所以, 的面积为,故四面体体积为, 又由,所以四面体体积为,于是四面体的体积为:. 、(高一)满足的实数的集合是 { }. 答案:. 解:数形结合,将其视为求 与交点的横坐标,如图;由于 ,仅当时, ,此时方有交点, 当,,由得, 当,,,得. (高二)函数的最大值是 . 答案:. 解:将函数式看作定点与动点连线的斜率;而动点的轨迹是一个单位圆,设过点的直线方程为,即, 当斜率取最大值时,该直线应是单位圆的一条切线,于是原点到该直线距离为, 即有,所以,因此最大值为. 、若为正数,表示的整数部分,而,如果顺次组成等比数列,则 . 答案:. 解:改记,由等比,,而,所以 ,,,由于,则为正整数, 且只有,从而,所以. 、(高一)是不同的正整数,若集合, 为正整数,则的最小值是 . 答案:. 解:由偶数,所以两奇一偶;即为奇数,显然,不妨设,如果,则由得 ,此时导致,矛盾! 所以,当时,由,解得, 这时,. 、函数的最小值是 . 解:由于的中间一数为,当时,函数取得最小值 . 、若,,则 . 答案:. 解:将条件式平方得, ,, 两式相加得;两式相减得: ; 因此, . 二、解答题(共分) 、(分)如图,过的三个顶点各作其外接圆的切线,分别与相应顶点的对边所在直线相交,证明:三个交点共线. 证:据梅尼劳斯逆定理,只要证 ;由弦切角关系, , 由∽,得; 同理,由∽,得, 由∽,得 所以,因此共线. 、(分)数列满足:, 、写出数列前个项的值; 、对任意正整数,求的表达式. 解:、顺次算出:; 、因为,, 所以 . 所以, , , … …, , , 相加得,. 、(分)盒中装有红色和蓝色纸牌各张,每色纸牌都含标数为的牌各一张,两色纸牌的标数总和记为; 对于给定的正整数,若能从盒中

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