线性代数PPT课件第五章 特征值与特征向量.pptVIP

正交基：由正交向量组构成的向量空间的基； 标准正交基(或单位正交基)：由标准正交向量组构成 的向量空间的基. 定理 8 在 中，若 线性无关 ，则 与某个正交向量组 等价.且 等价 证明 令 ； （ 为待定系数）， 要使 （线性无关），故 从而取 又从上式可得 等价. 则要求成立 表明 一般已求得正交向量组 与 等价. 令 与上式两边作内积得： 用 由于 于是可求得 即 易见 是正交向量组，且由 与 等价及上式，可得 与 等价. 定理10 的证明给出了将一个线性无关的向量组 正交化的步骤： 如果再将正交向量组 单位化，即令 则 是与 等价的标准正交向量组. 化为与 等价的标准正交向量组 的过程称为施密特 （Schmidt）正交化方法. 解 易见 例 7 设 将 化为 的一个标准正交基。 ，故 以下将 正交化. 由上述过程把一个线性无关的向量组 则 而且 令 （考虑为什么?) 再令 则 即为 的一个标准正交基. 例8 设 求 与 的夹角以及与 都正交的向量. 解 设 与 都正交，由正交条件可得方程组： 解之得 定义6（正交矩阵）设 A 是方阵.若 则称 为 正交矩阵. 其中 为任意实数. 是正交阵当且仅当 的列向量组为 的单位正交基. 等价定义： 事实上，设 ，则 定理11 若 都是 阶正交阵，则 1o 2o 也是正交阵； 4o 证明 1o显然；又由 得 也是正交阵； 3o 也是正交阵. 取行列式得 得 也是正交阵. 是正交阵 的列向量组是标准正交的 的行向量组标准正交. 由 2o 可得 由以上讨论容易验证下面三个实方阵都是正交阵： 证明 因为 是正交阵，由3o， 又 ，故 例 9 设 是正交阵，且 ,证明： （即 是 的特征值） 于是 四. 实对称阵的对角化 设 ，则其共轭向量为 若实矩阵A 满足 ，则称 为实对称阵. 定理 4.1 实对称阵的特征值必为实数. 定理 4.2 实对称阵 的属于不同特征值的 特征向量相互正交. 定理 4.3 对于任意实对称阵 A，必存在正交矩阵 ，使得 若记 则 即 为 的所有特征值. 推论 实对称阵 的 重特征值 有 个线性无关的特征向量，从而有 个单位正交的特征向量. 求正交矩阵 使得 为对角阵. 例 10 设 解 即例1中的实对称阵，它的特征值为 . 属于 的特征向量为 ，属于 的特征向量为 又在例7中，我们得 的标准正交特征向量组： 令 即所求的正交矩阵.且 为对角阵. 的特征值为 -6，3，3, 且 例 11 已知三阶实对称阵 是 的属于特征值 的特征向量，求 解 属于特征值 的特征向量 都应与 正交，即有 得一特征向量 属于 3 的另一个与 和 都正交的特征向量 可由下式得到： 令 联立解得为 将正交的 单位化： 于是 则它为正交阵且 记 * 第五章 特征值与特征向量 第一节 特征值与特征向量 本节研究被一矩阵相乘后变为自身倍数的非零向量,以及该倍数. 如取 定义1 （特征值与特征向量）设 是 n 阶方阵，若存在数 和非零向量 ，使得 　　　　 则 称为 的 特征值 ， 称为 的属于(或对应于) 的特征向量. (1) 　　　　　　 (1) 可写成 　　　　　　 注意: 特征值与特征向量是针对方阵定义的. 另外零向量总满足(1)式，但不是特征向量. 设 对于固定的 , (2) 是关于 的齐次线性方程