概率课件第2讲.pptVIP

1.3 频率与概率 概率的公理化定义 * * 古典概型的几类基本问题 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法 复习：排列与组合的基本概念 加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果 后放回，将记录结果排成一列， n n n n 共有nk种排列方式. 无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列， 共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式. n n-1 n-2 n-k+1 组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有 种取法. 1、抽球问题 例1 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解: 设A-----取到一红一白 答:取到一红一白的概率为3/5 解法一: 解法二 可见:随机抽球问题可以用组合法解,也可以用排列法解. 关键是:计算事件概率时保证分子,分母在同一个样本空间下讨论. 一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是 在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。 2、分球入盒问题 例2 将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？ 解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒 (1) (2) 解法一:(用对立事件) (2) 解法二:(空一盒相当于两球一起放在一个盒子中,另一球单独放在另一个盒子中) (2) 解法三:(空一盒包括1号盒空,2号合空,三号盒空且其余两盒全满这三种情况) 答:每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是2/3. 一般地，把n个球随机地分配到N个盒子中去(n?N)，则每盒至多有一球的概率是： 某班级有n 个人(n?365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？ 3.分组问题 例3 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求： （1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组 30人 (1) (2) (3) 一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,…m)，共有分法： 30人 (1) (2) (3) (2) 解法一 (“3名运动员集中在一个组”包括 “3名运动员都在第一组”, “3名运动员都在第二组”, “3名运动员都在第三组”三种情况.) 30人 (1) (2) (3) (2) 解法二 (“3名运动员集中在一个组”相当于 “取一组有3名运动员,7名普通队员,其余两组分配剩余的20名普通队员.) 答:每组有一名运动员的概率为50/203; 3名运动员集中在一个组的概率为18/203. 4 随机取数问题 例4 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率 解:N(S)=200, N(3)=[200/24]=8 N(1)=[200/6]=33, N(2)=[200/8]=25 (1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25 52张扑克平均分发给甲、乙、丙、丁4个人，求(1)甲拿到4个A的概率 (2)4个A在一个人手上的概率。 (3)每人手上都有A的概率。 某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（A）=？ (一）频率 定义(p7) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012