高考数学总复习-基本不等式及其应用.pptVIP

共 43 页 基本不等式及其应用 回归课本: 1.算术平均数 如果a,b∈R+,那么 叫做这两个正数的算术平均数. 2.几何平均数 如果a,b∈R+,那么 叫做这两个正数的几何平均数. 3.重要不等式 如果a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”); 均值定理:如果a,b∈R+,那么 (当且仅当a=b时,取“=”). 均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 5.已知x、y都是正数,则 (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取最大值 (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二定三相等”,即: ①各项或各因式为正;②和或积为定值;③各项或各因式都能取得相等的值. 1.函数y=log2x+logx2的值域是( ) A.(-∞,-2] B.[2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 答案:D 2.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为( ) 答案:A 【典例1】证明:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c). [证明]∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2, c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2, 又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c). 即原命题可得证. 利用均值不等式解应用题: 均值不等式作为求最值的常用工具,经常在有关最优解的实际问题中应用.应用均值不等式解决实际问题的基本步骤是:①仔细阅读题目,透彻理解题意;②分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其它的变量,把要求最值的变量设为函数;③应用均值不等式求出函数的最值;④还原实际问题,作出解答. 【典例3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 m,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 第*页 * 第*页 * 答案:C 答案:B 答案:D