计算机仿真技术第三章 连续系统数值积分仿真方法学.pptVIP

只用三个方程 二阶二步显式算法的一般形式： 二阶二步Adams显式算法 为Adams法 为向后微分公式 显然是隐式公式 若要求向后微分公式为K阶算法，则 当K=1 为向后Eular法 K=1，2，….6的向后微分公式系数值 1 1 -1 1 2 2/3 1/3 -4/3 1 3 6/11 -2/11 9/11 -18/11 1 4 12/25 3/25 -16/25 36/25 -48/25 1 5 1 6 1 k 计算 时，仅已知 和相应的导数值 称为线性多步法的起步值，需用单步法来求出。 若线性多步法是P阶算法，计算起步值的算法不应低于P阶，否则影响计算精度。 仿真步长 h 的选取，是否影响仿真结果？先看一个例子： 第四节 数值积分法稳定性分析 系统稳定，精确解： 用前向欧拉法求解： ch3_6.m 由此可见，仿真步长 h 的选取，会影响仿真结果。 用前向欧拉法求解，当 h ≧ 0.2时不稳定，是由于步长太大，从而截断误差太大造成的。 一、数值解法稳定性的含义 数值解的稳定性：在扰动（初始误差、舍入误差、截断误差）的影响下，计算过程中的累积误差不会随计算步数的增加而无限增长。 微分方程的数值积分方法，实质是微分方程的差分化，然后从初始条件递推迭代。不同数值解法对应着不同的差分方程，是否稳定取决于该差分方程的特征根是否满足稳定性要求。（处于Z平面上以原点为圆心的单位圆内） 着重研究单步法的稳定性对步长的限制。 二、数值解法稳定性分析 这样做的根据是： 1）试验模型简单，对其数值不稳定的方法，不可用； 2）一般的初始问题在其解的存在区域内，可局部线性化转化为试验方程。 只要原系统是稳定的，即 不等式成立 称后向欧拉法是恒稳定的算法。 只要原系统是稳定的，即 不等式成立 与后向欧拉法一样，是恒稳定的算法。 解：用欧拉法解试验方程时对步长要求 一、选择数值积分方法考虑的因素 第五节 数值积分法的选择与计算步长的确定 1、精度要求 截断误差（积分方法、方法阶次、步长大小） 舍入误差（计算机步长、步长大小、程序设计） 2、计算速度 主要取决于每步积分运算所花费的时间和积分总次数 3、数值解的稳定性 二、积分步长的选择 步长太大，导致较大的截断误差，数值不稳定； 步长太小，增加计算次数，舍入误差的累积使总误差加大； 所以，步长选择要适中。 * 矩阵形式的数值积分公式： １） 欧拉法公式 前向欧拉法公式 后向欧拉法公式 ２） 梯形法公式 ３）二阶龙格－库塔法公式 改进的欧拉法公式，是预估－校正公式。 ４） 四阶龙格－库塔法公式（RK4） 　　对于 n 阶系统，状态向量 x 为 n 维，计算中每前进一步 h ，要计算 4n 个 kij 值，对状态空间表达式： 此时，RK4公式的４个 k 值： 例：系统方程 取步长 h=0.1,试用RK4法求t=0.1，0.2时的解 解: 将原系统方程化为状态方程形式： 见仿真结果 作业：P149　3.2 　习题3-2：已知 用前向欧拉法、梯形法求其数值解，取步长h=0.1 解: 前向欧拉法递推式： 　习题3-2：已知 用前向欧拉法、梯形法求其数值解，取步长h=0.1 解: 梯形法递推式： 隐式算法，需先解此非线性方程： 单步法的特点：计算 n+1 时刻的值 yn+1 时，只用到第 n 时刻的 yn 和 fn 。 如果能利用多步计算信息（历史时刻值），则可能既加快仿真速度又获得较高的仿真精度，这就是构造多步法的出发点。 第三节 数值积分法的多步算法 实际在逐步递推过程中，计算 yn+1 时已经获得一系列的近似值： 以及 。 多步法中以 Adams 法最具代表性，应用最为普遍。 对一阶连续系统： 连续解为： 现过三点 按插值原理构造一个多项式 来逼近函数 对函数 ,再对多项式 积分近似 积分 一、Adams算法 得： 多项式 中的系数由下决定： 拉格朗日插值公式 令： 同时 考虑： 因为有： 进行变量替换： 显然，对多项式的积分计算很容易。 微分方程连续解为： 写成差分方程： 这就是显式两步二阶Adams递推式。 显式 Adams 算法的系数值 显式 Adams 算法的递推公式为： bi bo b1 b2 b3 b4 0 1 1 3/2 -1/2 2 23/12 -16/12 5/12 3 25/24 -59/24 37/24 -9/24 4 1901/720 -2774/720 2616/720 -1274/720 -19/720