六 空间向量及其运算.pptVIP

在本题条件下试证BC1⊥A1D. [归纳领悟] 1．应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取空间 向量的一组基底，一般来讲该基底最好已知相互之间的夹角及各向量的模；二是建立空间直角坐标系利用坐标系运算来解决，后者更为简捷． 2．在求立体几何中线段的长度时，转化为求a·a＝|a|2， 或利用空间两点间的距离公式． 一、把脉考情 从近两年高考试题来看，空间向量的概念及其运算在解答题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考查，难度中等． 多考查空间向量的坐标运算及数量积的应用，注重考查学生的运算能力，预测2012年命题仍以此为热点． 二、考题诊断 1．(2010·广东高考)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝ (1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 解析：c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2?x＝2. 答案：2 点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测” * 空间向量及其运算 1．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示 2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定 理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数 量积判断向量的共线与垂直 [理 要 点] 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线 ． 共面向量 平行于 的向量． 共线向 量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝ . 平行或重合 同一平面 λb 语言描述 共面向量定理 若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝ . 空间向量基本定理 (1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝ . (2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使 ＝x ＋y ＋z 且x＋y＋z＝ . 1 xa＋yb＋zc xa＋yb a·b＝0 a2 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝ 向量差 a－b＝ 向量积 a·b＝ 共线 a∥b? (λ∈R) 2．向量的坐标运算 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a⊥b? 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 [究 疑 点] 1．平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间 向量成立吗？ 提示：不一定，a与c不一定共线． 2．(a·b)c＝a(b·c)成立吗？ 提示：成立． 答案：A 答案：B [归纳领悟] 用已知向量表示未知向量时要注意： 1．把要表示的向量置于封闭图形中，利用三角形法则或 多边形法则进行基向量代换． 2．用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基 底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减 法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘． 答案：C 解析：对于①，“如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么a，b的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确． 答案：C 答案：C 4.如图所示，已知ABCD是平行四边形， P点是ABCD所在平面外一点，连接 PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H 分别为△PAB、△PBC、△PCD、 △PDA的重心． (1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面； (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方 法证明你的判断． [归纳领悟] 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较： 答案：A 解析：由夹角公式可求θ＝π. 答案：π 解析：由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边形的外角和是360°，这与已知条件矛盾