六 空间向量及其运算(理).pptVIP

2.在向量性质中|a|2＝a·a提供了向量与实数相互转化的 工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成 两个相等向量的数量积的计算问题. [特别警示]　求向量的数量积关键是求出两个向量的模和夹角. 在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图).求B、D间的距离. [思路点拨] [课堂笔记]　∵∠ACD＝90°，∴ ＝0. 同理 · ＝0. ∵AB和CD成60°角，∴〈 〉＝60°或120°. ＝3＋2×1×1×cos〈 〉 ＝ ∴| |＝2或 ，即B、D间的距离为2或 . ? ? 本节内容多以选择、填空题形式考查为主，重在考查向量的概念、数量积及运算性质.有时也以空间几何体为载体，以空间向量数量积运算或坐标运算为工具，以解答题形式来考查空间直线、平面的夹角、距离以及平行、垂直问题. 　 [考题印证] (2010·广州模拟) 已知正三棱 柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2， AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC、 A1C1的中点，建立如图所示的空间 直角坐标系. (1)求正三棱柱的侧棱长； (2)若M为BC1的中点，试用基向量 、 、 表示向量 (3)求异面直线AM与BC所成的角. 【解】　(1)设正三棱柱的侧棱长为a，则 A(0，－1,0)，B1( ，0，a)，B( ，0,0)，C1(0,1，a)， ∴ ＝( ，1，a)， ＝(－ ，1，a).┄┄┄┄2分∵AB1⊥BC1，∴ ， ∴ ＝0，即－3＋1＋a2＝0，∴a＝ . 即正三棱柱侧棱长为 .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 (3)由条件知，〈 〉＝120°，〈 〉＝60°，〈 〉＝90°. ＝ (－2×2· ＋2×2× ＋0)＝0， ∴ ，即异面直线AM与BC所成角为90°. ┄┄┄12分 [自主体验] 直三棱柱ABC－A′B′C′中， AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、 E分别为AB、BB′的中点. (1)求证：CE⊥A′D； (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. 解：(1)证明：设 ＝a， ＝b， ＝c， 根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0， ∴ ＝b＋ c， ＝－c＋ b－ a. ∴ ＝－ c2＋ b2＝0. ∴ ，即CE⊥A′D. (2) ＝－a＋c，∴| |＝ |a|，| |＝ |a|. ＝(－a＋c)·(b＋ c)＝ c2＝ |a|2， ∴cos〈 〉＝ ＝ . 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为 . 1.若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线， 则 (　　) A.p＝3，q＝2　　　　　　　　　B.p＝2，q＝3 C.p＝－3，q＝－2 D.p＝－2，q＝－3 解析： ＝(1，－1,3)， ＝(p－2，－1，q＋1)， 由题意知，存在实数λ，使 ＝λ ，即λ＝1，p＝3，q＝2. 答案：A 2.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a，b夹角的余弦 值为，则λ＝