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第5章 抽样分布与参数估计 统计推断 推断过程 Inference Process 在统计学研究中存在着三种分布 样本分布：实际所观察到的资料的分布。 总体分布：如二项分布和正态分布，通常用数学模型来描述，是一种理论分布。 抽样分布：即统计量的概率分布。从一个总体中按样本一定大小抽出所有可能的样本，由这些样本所得的统计量而形成的一种概率分布。 抽样分布的形成过程 (sampling distribution) 5.1 样本平均数分布 例1：在掷骰子试验中，样本原总体N=6，其所有的样本空间为X={1,2,3,4,5,6}，则该总体有如下均匀的分布和特征数参数： 当抽样样本容量n=2时，即当掷骰子2次时，其相应的组合如下表： 样本平均数分布的基本性质 从同一总体抽出的具有相同容量的所有可能平均数分布，其平均数等于该总体平均数 即 样本平均数分布的方差等于总体方差除以样本容量n，即 因此样本平均数的标准差是原总体样本的标准误。 1. 从正态总体抽样Sampling from Normal Populations 正态分布再生定理: 当总体为正态概率分布时，对任何容量样本，样本均值x的抽样分布服从均值μx =μ,　标准差σx =σ/√n 的正态分布 从正态总体抽样Sampling from Normal Populations 中心极限定理Central Limit Theorem 又称“大样本定理”，当样本容量n足够大(n60)，无论总体是什么分布，样本均值x的抽样分布将趋于均值为μ、标准差为σ/√n的正态分布 中心极限定理Central Limit Theorem 中心极限定理对三个总体的图示 中心极限定理对三个总体的图示 例3 据调查，50~60岁的成年男性血液中平均胆固朜浓度为200mg/dl，标准差为20mg/dl。假设血液胆固朜浓度测量符合正态分布。求： 1) 随机从该年龄段挑选一人，其血液胆固朜浓度低于250mg/dl的概率？ 解：将以上数据转化为标准正态 即在50~60岁的成年男性中，99.38的人血液胆固朜浓度低于250mg/dl。 例3 2) 随机从该年龄段挑选一人，其血液胆固朜浓度高于225mg/dl的概率？ 解：将以上数据转化为标准正态 即在50~60岁的成年男性中，10.56%的人血液胆固朜浓度高于225mg/dl。 　例3 3) 从该年龄段以100人为取样单位，求其血液胆固朜平均浓度低于204mg/dl的概率？ 解：由于所求的是样本平均数的抽样分布，其 例3 4) 如果25个老人在严格控制饮食后，其血液胆固朜平均浓度为188mg/dl，分析饮食控制能否显著降低血液胆固朜浓度，并解释之。 解： 即在不控制饮食的情况下，25个人血液胆固朜平均浓度低于188mg/dl的概率仅为0.13%，说明饮食控制能否显著降低血液胆固朜浓度。 5.2 统计量t的分布 统计量t的分布是William Sealy Gosset（1908)提出的。当时W. S. Gosset在一家名为Guinness的酒厂工作，他发现当时人们的数学知识似乎不能解决诸如样本的标准离差等问题，Gosset从弄乱的卡片中抽样、计算并累积经验的频数分布，所得结果发表于Biometrika（1908），署名“Student”。 今天“Student t”成为数理统计学的基本工具；“Student化“（Studentize）在数理统计学中是个常见的形容词。 5.2.1 t值的定义 尽管原总体X为正态， 总体亦为正态，从而u分布为正态，但t-分布却不一定为正态，因为t值公式中有2个统计量 和S在变动。 5.2.3 t-分布的特征 1)是左右对称的一系列曲线，围绕平均数向两侧递降。 2)t分布受自由度df=n-1的制约，每个自由度都有一条t分布曲线。 3)和正态分布相比， t-分布的顶部偏低，尾部偏高。当n30特别是n60时，t-分布逼近正态分布，当df趋向无穷大时，t-分布与正态分布无异。 5.2.4 关于 t 值表(表 C-2) 设t-分布曲线两尾部分的面积与曲线下全部面积的比率为α，即 α为双尾面积之和。不同自由度的t-分布，曲线两尾的的高低是不同的。 5.3 ?2 -分布 ?2分布是统计学中一种连续型随机变量的概率分布。 5.3.1 ?2 -分布的定义 设有一平均数为μ、方差为?2的正态总体。现从此总体中独立随机抽取n个随机变量：x1、x2、…、xn，并求出其标准正态离差： ， ，… ， 记这n个相互独立的标准正态离差的平方和为?2