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第 3 章 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 主 要 内 容 连续时间信号的傅里叶变换 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换的性质 快速傅里叶变换 与本章内容有关的MATLAB函数 不 同 形 式 的 傅 里 叶 变 换 对 傅 里 叶 级 数(FS)：连 续 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 连 续 傅 里 叶 变 换(FT)：连 续 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换 。 序 列 的 傅 里 叶 变 换(DTFT):离 散 时 间 , 连 续 频 率 的 傅 里 叶 变 换. 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT):离 散 时 间 , 离 散 频 率 的 傅 里 叶 变 换 3.1 连续时间信号的傅里叶变换 一. 周期信号与离散频谱 周期函数： 通过 变 换 对 可 以 看 出 时 域 的 连 续 函 数 造 成 频 域 是 非 周 期 的 频 谱 函 数 , 而 频 域 的 离 散 频 谱 就 与 时 域 的 周 期 时 间 函 数 对 应 。(频域采样，时域周期延 拓) 周期信号 非周期信号 周期信号 非周期信号 二、 非周期信号与连续频谱 非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。 例：窗函数 解： 以上变换对可以看出时域 连 续 函 数 造成频域是非周期的谱 , 而是时域的非周期造成频域是连续的谱 . 3.2 离散傅里叶变换 序列的傅里叶变换(DTFT) 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换在应用中的问题 一、序列的傅里叶变换(DTFT) 1. 定义 序列的傅里叶变换就是单位圆上的Z变换 2、性 质 1）线性 2）时移 3）卷积 4) Parserval定理 3、举 例 同样可看出,时域的离散造成频域的周期延拓 ,而时域的非周期对应于频域的连续 . 上面讨论的三种傅里叶变换对 ,都不适用在计算机上运算 , 因为至少在一个域 ( 时 域 或 频 域 ) 中 , 函 数 是 连 续 的 。 因 为 从 数 字 计 算 角 度 , 我 们 感 兴 趣 的 是 时 域 及 频 域 都 是 离 散 的 情 况 。 我 们 先 从 周 期 性 序 列 的 离 散 傅 里 叶 级 数(DFS) 开 始 讨 论 , 然 后 在 讨 论 可 作 为 周 期 函 数 一 个 周 期 的 有 限 长 序 列 的 离 散 傅 里 叶 变 换(DFT)。 3.2 离散傅里叶变换 序列的傅里叶变换(DTFT) 离散傅里叶变换 离散傅里叶变换的性质 离散傅里叶变换在应用中的问题 一、周期序列离散傅里叶级数(DFS) 1. 周期序列DFS定义 设 为周 期 为 N 的 周 期 序 列 , 则 其 离 散傅里 叶 级 数 (DFS) 变 换 对 为 : 正变换 反变换 其中： 2. 推导正变换 非周期信号x (n)，其 DTFT(单位圆上Z变换)为 周期连续频谱密度函数，对其进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为： 得到频间距为： 代入DTFT式子中得： 3. DFS反变换 证明：已知 两边同乘以 ，并对一个周期求和 用n置换r得 DFS离散傅里叶级数的推导意义 用数字计算机对信号进行频谱分析时，要求信号必须以离散值作为输入，而且上面讨论可知：只有第四种形式(DFS)对数字信号处理有实用价值。 但如果将前三种形式要么在时域上采样，要么在频域上采样，变成离散函数，就可以在计算机上应用。 由非周期连续时间信号推出DFS X(t)经过抽样为x(nT),对离散的时间信号进行DTFT得到周期连续频谱密度函数。再经过抽样，得到周期性离散频谱密度函数即为DFS. 周期性连续时间信号函数 周期性连续时间信号函数经采样后，得到周期性的离散时间函数(DFS)。 非周期离散时间信号 非周期离散时间信号经过序列付里时变换(即单位圆上的Z变换)DTFT,得到周期连续谱密度函数，再经采样为周期离散频谱密度函数(DFS)。 为什么从DFS过渡到DFT 在计算机上实现信号的频谱分析要求： 时域和频域都是离散的； 时域和频域都是有限长的。 FT，FS，DTFT，DFS都不符合要求，但是，利用DFS时域和频域的周期性，各取一个周期就形成新的变换对。 主 值(主值区间、主值序列) 主 值 区 间：设 有 限 长 序 列 x(n) ,0≤n≤N-1 , 将 其 延 拓 为 周 期 序 列 , 周 期 序 列 长度为N, 则 的 第