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第3-2章 格与布尔代数 即有 f(x∨y)=f(x)∨f(y), 同理 f(x∧y)=f(min(x,y))=min(x,y)-1f(x)∧f(y)=(x-1)∧(y-1)=min(x-1,y-1) =min(x,y)-1 即 f(x∧y)=f(x)∧f(y) 所以f是L1到L2的同态映射 (2) 如图13.4中的格L1,L2和L3，若定义 f1: L1→L2 f1(a)=f1(b)=f1(c)=a1, f1(d)=d1 f2: L1→L3?? f2(a)=a2,f2(b)=b2, f2(c)=c2,f2(d)=d2 问f1和f2是否格同态？ L1 L2 L3 解：f1和f2都不是格同态， 定理13.5 设f是格L1到L2的映射，（1）若f是格同态映射，则f是保序映射， 即 x,y∈ L1,有 x y f(x) f(y) （2）若f是双射，则f是格同构映射， 当且仅当 x,y∈ L1 有 x y f(x) f(y) （1）证明：任取x,y ∈ L1,x y 由定理13.3知 x∨y＝y 又由于f是格同态映射， 必有 f(y)＝f(x∨y)=f(x)∨f(y), ∴f(x) f(y) （2）证明：必要性 已知条件：f是格同构映射 要证明的结论： x,y∈ L1 有 x y f(x) f(y) 充分性 已知条件：f ：L1→L2是双射， 有 x y f(x) f(y) x,y∈ L1 要证明的结论: f是格同态。 例13.7 设L1＝S12,D, L2＝S12, ≤是格,其中S12是12的所有正因子构成的集合，D为整除关系，≤为通常数的小于等于关系，令f: S12→ S12 , f(x)=x 问f是否是L1到 L2的格同构？ 解：不是。 因为f(2)=2 f(3)=3 f(2) ≤f(3) 但是 2 并不能整除3 三．格的直积 类似于半群,群,也可以定义格的直积。 定义13.6 设L1和L2是格,定义L1×L2 上的运算∩,∪: ????a1,b1,a2,b2∈L1×L2 　 a1,b1∩a2,b2=a1∧a2,b1∧b2　 a1,b1∪a2,b2=a1∨a2,b1∨b2 称L1×L2,∩,∪为格L1和L2的直积。 可以证明L1×L2,∩,∪仍是格。 ? a1,b1,a2,b2,a3,b3∈L1×L2,有　 a1,b1∩a2,b2=a1∧a2,b1∧b2　 a2,b2∩a1,b1 =a2∧a1,b2∧b1 交换律? (a1,b1∩a2,b2)∩a3,b3 =a1∧a2,b1∧b2∩a3,b3=(a1∧a2)∧a3,(b1∧b2)∧b3 =a1∧a2∧a3,b1∧b2∧b3 结合律? a1,b1∩(a2,b2∩a3,b3) =a1,b1∩a2∧a3,b2∧b3=a1∧(a2∧a3),b1∧(b2∧b3) =a1∧a2∧a3,b1∧b2∧b3 a1,b1∩(a1,b1∪a2,b2) =a1,b1∩a1∨a2,b1∨b2=a1∧(a1∨a2),b1∧(b1∨b2)=a1,b1 同理有a1,b1∪(a1,b1∩a2,b2)=a1,b1 ∩和∪运算满足吸收律 同理可证∪运算也满足交换律和结合律、吸收律 从而证明L1×L2仍是格。 例如：格L={0,1},≤,≤为通常的小于或等于关系,则 L×L, ∪, ∩是L与L的直积，是格 0,0∪0,1＝max(0,0),max(0,1)＝0,1 0,0∪1,1＝max(0,1),max(0,1)＝1,1 0,1∪1,1＝max(0,1),max(1,1)＝1,1 0,0是格L×L的最小元,1,1是最大元 0,1与1,0是不可比的 0,0 0,1 1,0 1,1 其中 L×L={0,0,0,1,1,0,1,1}, 画出该格对应偏序集 L×L , 的哈斯图。 0,0 1,0 1,1, 所以 0,0 0,1 1,1, 13.3 分配格与有补格 一、分配格的定义、判别与性质 1．分配格的定义及实例 一般说来,格中运算∨对∧满足分配不等式,即 ?a,b,c∈L,有 a∨(b∧c) ????(a∨b)∧(a∨c)但是不一定满足分配律. 满足分配律的格称为分配格。 定义13.7 设L,∧,∨是格,