2015年考研数学(一)真题及答案详解2015年考研数学(一)真题及答案详解.docx

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为( )(A) (B) (C) (D) 【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由的图形可得，曲线存在两个拐点.故选（C）.(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则( )(A) (B) (C)(D) 【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.【解析】由题意可知，、为二阶常系数齐次微分方程的解，所以2,1为特征方程的根，从而，，从而原方程变为，再将特解代入得.故选（A）(3) 若级数条件收敛，则与依次为幂级数的 ( )(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点(C)发散点，收敛点(D) 发散点，发散点【答案】（B）【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质.【解析】因为条件收敛，即为幂级数的条件收敛点，所以的收敛半径为1，收敛区间为.而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故的收敛区间还是.因而与依次为幂级数的收敛点，发散点.故选（B）. (4) 设是第一象限由曲线，与直线，围成的平面区域，函数在上连续，则 ( )(A) (B)(C)(D) 【答案】（B）【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，所以，故选（B）(5) 设矩阵，，若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(D)【解析】，由，故或，同时或.故选（D） (6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(A)【解析】由，故.且.由已知可得:故有所以.选（A）(7) 若A,B为任意两个随机事件，则 ( )(A) (B) (C)(D) 【答案】(C)【解析】由于，按概率的基本性质，我们有且，从而，选(C) .(8)设随机变量不相关，且，则 ( )(A) (B) (C) (D) 【答案】(D)【解析】，选(D) .二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 【答案】【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换.【解析】方法一：方法二： (10) 【答案】【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】(11)若函数由方程确定，则【答案】【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令，则又当时，即.所以，因而(12)设是由平面与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则【答案】【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得，其中为平面截空间区域所得的截面，其面积为.所以 (13) 阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得(14)设二维随机变量服从正态分布，则【答案】【解析】由题设知，，而且相互独立，从而.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分) 设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.【答案】【解析】法一：原式即法二：因为分子的极限为0，则，分子的极限为0，，(16)(本题满分10分) 设函数在定义域I上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.【答案】.【解析】设在点处的切线方程为：令，得到，故由题意，，即，可以转化为一阶微分方程，即，可分离变量得到通解为：，已知，得到，因此；即.(17)(本题满分10分)已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.【答案】3【解析】因为沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.，故，模为，此题目转化为对函数在约束条件下的最大值.即为条件极值问题.为了计算简单，可以转化为对在约束条件下的最大值.构造函数：，得到.所以最大值为.(18)(本题满分 10 分)（I