2012年度千叶大医系数学.PDFVIP

2012 千葉大学（医系）前期日程 問題 １ 解答解説のページへ 横 2a, 縦 2b の長方形を長方形の中心のまわりに角θ だけ回転させる。回転後の長 方形ともとの長方形とが重なり合う部分の面積S(θ ) を求めよ。ただし, 長方形の中 心とはその 2 つの対角線の交点とし, 長方形はそれを含む平面内で回転するものとす る。また, 回転角θ は 0 以上, 長方形のいずれかの頂点が隣の頂点に達するまでの角 度以下にとるものとする。 －1－ 2012 千葉大学（医系）前期日程 問題 ２ 解答解説のページへ すべての項が整数である数列を整数列という。p, q, r, s を実数とし, 正の整数n に 対し, 2 2 3 a =p+qn+rn , b = p+qn+rn +sn n n とおく。このとき以下の命題を示せ。 (1) 数列 a が整数列ならば, 2r は整数である。 { } n (2) 数列 b が整数列であるための必要十分条件は, p とq+r+s と2r と6s がいず { } n れも整数となることである。 －2 － 2012 千葉大学（医系）前期日程 問題 ３ 解答解説のページへ さいころをn 回( n≧2) 投げ, k 回目(1≦k≦n) に出る目をX とする。 k (1) 積X X が18 以下である確率を求めよ。 1 2 (2) 積X X ⋯X が偶数である確率を求めよ。 1 2 n (3) 積X X ⋯X が4 の倍数である確率を求めよ。 1 2 n (4) 積X X ⋯X を3 で割ったときの余りが1 である確率を求めよ。 1 2 n －3－ 2012 千葉大学（医系）前期日程 問題 ４ 解答解説のページへ xy 平面において, 長さ 1 の線分AB を点A が原点, 点B が点(1, 0) に重なるよう に置く。点A をy 軸に沿って点(0, 1) まで移動させ, 線分AB の長さを1 に保ったま ま点B をx 軸に沿って原点まで移動させる。このとき線分AB が通る領域をD とす x≦1 となる実数x に対して, 点( x, y) が領域D に含まれるようなy の最大 る。0 ≦ 値をf ( x ) とする。 (1) f ( x ) をx の式で表せ。 (2) 領域D をx 軸を中心に回転させた立体の体積V を求めよ。