Mathematica进行代数运算和求极限练习解答.doc

用数学软件Mathematica做微积分 作者：徐小湛 四川大学数学学院 xuxzmail@163.com 目 录 前言 极限 函数极限 单侧极限 单向极限 无穷大的极限 数列极限 递归定义的数列的极限 导数 显函数的导数 单侧导数 高阶导数 参数方程的导数 隐函数的导数 导数的应用 微分中值定理 洛必达法则 切线和法线 求方程的根 单调区间和极值 凹凸区间和拐点 积分 不定积分 定积分 广义积分 积分变限函数的导数 定积分的几何应用 面积 旋转体体积 弧长 旋转曲面面积 空间解析几何 数量积 向量积 混合积 向量的模和单位化 两点的距离 多元微分学 偏导数 高阶偏导数 全微分 隐函数的偏导数 多元微分学的应用 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 梯度与方向导数 二元函数的极值 重积分 二重积分 极坐标计算二重积分 三重积分 柱面坐标计算三重积分 球面坐标计算三重积分 重积分的应用 曲面的面积 体积 曲线积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分 曲面积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 高斯公式与散度 斯托克斯公式与旋度无穷级数 常数项级数 幂级数的收敛半径与收敛域 幂级数的和函数 函数展开成幂级数 泰勒级数 傅里叶级数 微分方程 一阶微分方程 可分离变量方程 一阶线性方程 高阶微分方程 高阶线性微分方程 欧拉方程 图形 平面图形 显函数的图形 二元方程的图形 隐函数曲线 参数曲线 极坐标曲线 导数的图形 积分变限函数的图形 平面区域的图形 空间图形 显函数曲面 参数曲面 三元方程的图形 隐函数曲面 空间曲线 空间区域 数学家 欧拉 牛顿 莱布尼茨 拉格朗日 阿贝尔 泰勒 麦克劳林 柯西 斯托克斯 高斯 傅里叶 笛卡儿 狄利克雷 参考文献 前 言 Mathematica是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。 本文档用Mathematica来计算微积分中的各种习题,并绘制了很多图形。 本文档中所有的例子都是用Mathematica 7编程和计算的，有的命令在版本较低的Mathematica可能无法执行。 另外，有的运算结果拷贝到Word时，格式有些变化，但是在Mathematica中的输出格式没有问题。 如有对本文档中的内容任何问题，请发邮件到与作者讨论。 邮箱：xuxzmail@163.com xuxz 2010-9-1 返回目录 极限 函数极限 自变量趋于有限值的极限 例 求极限 解 输入： f[x_]:=Sin[x]/x; Limit[f[x],x?0] 输出：1 例 求极限 （同济6版，139页） f[x_]:=(1+a/x)^x; Limit[f[x],x?Infinity] 输出：??（错误答案，原因是没有给?赋值） a:=a f[x_]:=(1+a/x)^x; Limit[f[x],x?Infinity] 输出：?a（对了！） 单侧极限 例 求左极限 解 输入： f[x_]:=Exp[1/x]; Limit[f[x],x?0,Direction?1] 输出：? 例 求右极限 解 输入： f[x_]:=ArcTan[1/x]; Limit[f[x],x?0,Direction?-1] 输出：?/2返回目录 自变量趋于无穷大的极限 例 求极限 解 输入： f[x_]:=x^2Sin[3/x^2]; Limit[f[x],x?Infinity] 输出：3 单向极限 例 求极限 解 输入： f[x_]:=ArcTan[x]; Limit[f[x],x?Infinity] 输出：?/2 解 输入： f[x_]:=ArcTan[x]; Limit[f[x],x?-Infinity] 输出：-(?/2) 解 输入： f[x_]:=Exp[1/x]; Limit[f[x],x?0,Direction?-1] 输出：?返回目录 数列的极限 数列极限 例 求极限 解 输入： f[n_]:=(1+1/n)^n; Limit[f[n],n?Infinity] 输出：? ，求 解 输入： f[1]=Sqrt[2]; f[n_]:=Sqrt[2+f[n-1]]; f[10] 不成功！ f[1]=N[Sqrt[2],10]; f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]],10]; f[10] 结果：1.999997647 作图观察数列的极限 f[1]=Sqrt[2]; f[n_]:=Sqrt[2+f[n-1]]; xn=Table[f[n],{n,1,10}]; ListPlot[xn,PlotStyle?{