一个特殊三元三次不定方程没有整数解的证明.PDFVIP

中国科技论文在线 一个特殊三元三次不定方程没有整数解的 证明 苏法王* 5 （新疆大学数学与系统科学学院） 摘要：三元三次不定方程中有许多未解难题，本文对一个特定三元三次不定方程整数解的情 况进行了研究，给出了其没有整数解的一个证明，通过研究给出了解决同类不定方程的一个 通用方法。 关键词：数论；不定方程；三元三次；整数解 10 中图分类号：O15 A specific ternary cubic diophantine equations without of integer solutions Su Fawang 15 (College of Mathematics and System Seiencens Xinjiang University) Abstract: Ternary cubic diophantine equations many did not solve problems, this paper a specialternary cubic diophantine equations in integer solutions carried out research, gives the integer solution is not proof of address given by studying , similar indefinite equation A general method 20 Key words: Number Theory; Indeterminate equation; Three cubic equation; lnteger solution 0 引言 许多数论书中讲到三元三次不定方程 25 x 3 +y 3 +z 3 30 (1) 是否有整数解是一个几十年来未得到解决的数论难题[1] [2] [3]？对此本文进行了深入研究, 用 初等数论的方法给出了一个简洁证明。得出的结论是不定方程(1)整数解。 1 引理 引理 1: 不定方程(1)有整数解,则仅有 30 x +y +z ≡0 (mod 6) (2) 证明: (1.1)如果不定方程(1)有整数解,则 3 不能整除 xyz a: 假 如 x ≡y ≡z ≡ 0(mod3), 则 总 有 x 3 +y 3 +z 3 ≡0(mod 27) 与 不 定 方 程 (1) 35 x 3 +y 3 +z 3 ≡30(mod 27) 矛盾。 b: 假如 x ≡y ≡0(mod3)或y ≡z ≡0(mod3)或 z ≡x ≡0(mod3),则总有z ≡0(mod3)或x ≡0(mod3) 或 y ≡0(mod3).综合上述情况，总有 x ≡y ≡z ≡0(mod3),结合 a:不定方程(1)此时没有整