一类无穷小(大)量的判别法及其应用.PDFVIP

V01．13，No．5 高等数学研究 Sept．，2010 STUDIESIN COLLEGEMATHEMATICS 27 一 类无穷小 (大)量 的判别法及其应用 冯 录祥 ，阎恩让 (宝鸡文理学院数学系 ，陕西宝鸡 ，721013) 摘 要 将级数敛散性判别法 中的D’Alembert和Cauchy判别法移植到无穷小(大)数列上 。可得到关于无穷 小(大)数列的D’Alembert和 Cauchy判别法 ，从而解决无穷小(大)数列 的判别 问题． 关键词 无穷小数列 ；无穷大数列 ；D’Alembert判别法 ；Cauchy判别法 中圈分类号 O172 在级数敛散性中有一个众所周知的结论 ，即级数 当 1时 ，取 收敛的必要条件 引： e=：= 0， 如果级数’∑n收敛，那么liran一0． 那 么 ， 这一结论说明，当∑a收敛时，数列{)是无 10+ 一 1． 穷小数列．而∑n是否收敛，完全地由数列{n)自 于是存在 N ，当7z≥ N 时 ，有 身的特性决定． 本文以级数收敛的必要条件为理论工具 ，将把级 f等fo．十e， 数敛散性判别法中的 D’Alembert和 Cauchy判别法 也 即 移植到无穷小 (大)数列上 ，得 到了关 于无 穷小 (大) Ia-I (p+￡)Iaf． 数列的 D’Alembert和 Cauchy判别法，方便地解决 从而，任给 m ∈Z+，有 了有关无穷小 (大)数列 的判别 问题 ，特别是有关零 In+J：(D』十e)la I， 极限的证明问题 ，极大地方便 了教学． In+zI (ID+s)}口Ⅳ】I， 定理 1(D’Alembert) 对数列 {口}(口≠O)，若 一∞IlanIl—P’， la+I (1D+e)f口 I， 由0 + ￡ 1，故 一 。。时，有 贝0当p 1时， (JD+￡)』以 I一0， lima 一 0； 由迫敛性定理， 而当p 1时， limlaⅣ_+f=0， lima ： O43． 于是 址 明 由于 lima 一 0． H—o。lH“ff=o．， 当p 1时 ，取 所 以，任给 ￡ 0，存在 N，当 ≥ N 时 ，有 e一 O， ffl_PIe， 为 么 ， 也 即 ID一 一 1．