第六章 格.ppt

定义5-4、2 设G,*是一个群。如果G是有限集，那么称G,*为有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为|G|；如果G是无限集，则称G,*为无限群。 定理5-4、1 群中不可能有零元。 证明　当群的阶为1时，它的唯一元素视作幺元。 　　　设|G|1且群G,*有零元θ。 　　　那么群中任何元素x∈G,都有x*θ=θ*x=θ≠e,所以，零元θ就不存在逆元，这与G,*是群相矛盾。 ? 定理5-4、2 设G,* 是一个群，对于a,b∈G,必存在唯一的x∈G,使得a*x=b。 证明　设a的逆元是a-1，令x=a-1*b 　　　则　a*x=a*(a-1*b) 　　　　　=(a*a-1)*b 　　　　　=e*b 　　　　　=b 　　　若另有一解x1,满足a*x1=b,则 　　　　　a-1*(a*x1)=a-1*b 　　　即 x1=a-1*b 定理5-4.3 设G,*是一个群，对于任意的a,b,c∈G,如果有a*b=a*c或者b*a=c*a,则必有b=c(消去律)。 证明　设a*b=a*c,且a的逆元是a-1,则有 　　　 a-1*(a*b)=a-1*(a*c) 　　　 (a-1*a)*b=(a-1*a)*c 　　　 e*b=e*c 　　　 b=c 　　　当b*a=c*a时，可同样证得b=c。 定义5-4、3 S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 例:M={1,2,3,4} σ:M→M其中σ(1)=2, σ(2)=3, σ(3)=4, σ(4)=1 此置换可以写作 现|S|=n, S上的双射即置换的个数共n!个。 定义5-4、3 S是一个非空集合，从集合S到S的一个双射称为S的一个置换。 例:M={1,2,3,4} σ:M→M其中σ(1)=2, σ(2)=3, σ(3)=4, σ(4)=1 此置换可以写作 现|S|=n, S上的双射即置换的个数共n!个。 例：设M={1,2,3},则M上的置换共3!=6个,它们是 定义5-4、4 代数系统G,*中，如果存在a∈G,有a*a=a,则称a为等幂元。 定理5-4、5 在群G,*中，除幺元e外，不可能有任何别的等幂元。 证明 因为e*e=e,所以e是等幂元。 　　 现设　a∈A,a≠e且a*a=a 　　 则有　a=e*a=(a-1*a)*a=a-1*(a*a) 　　　　　　　　 =a-1*a=e 　　 与假设a≠e相矛盾。 定义5-4、5 设G,*是一个群，S是G的非空子集，如果S,*也构成群，则称S,*是G,*的一个子群。 定理5-4、6 设G,*是一个群，S,*是G,*的一个子群，那么，G,*中的幺元e必定也是S,*中的幺元。 证明 设S,*中的幺元为e1,对于任一x∈S?G,必有e1*x=x=e*x,故e1=e。 定义5-4、6 设G,*是一个群，S,*是G,*的子群，如果 S={e}，或者S=G，则称S,*为G,*的平凡子群 例题 I,+是一个群，设IR={x|x=2n,n∈I}, 证明 IR,+是I,+的一个子群。 证明 （1） 对于任意的x,y∈IR,不妨设x=2n1,y=2n2, n1 n2∈I,则x+y=2n1+2n2=2(n1+n2)，而 n1+n2∈I 　　　所以 x+y∈IR，即+在IR上封闭。 （2） 运算+在IR上保持可结合性。 （3） I,+中的幺元0也在IR中。 （4） 对于任意的x∈I,必有n使得x=2n,而 　　　-x=-2n=2(-n), -n∈I 　　　所以-x∈IR,而x+(-x)=0, 因此，IR,+是I,+的一个子群。 定理：(子群的判定定理) 设G,*是群 B?G,B,*是子群的充要条件是以下三条同时成立 （1）?? B非空 （2）?? 如果a?B,b?B,则a*b?B （3）?? 若a?B,则a-1?B 证明：必要性是显然成立,下证充分性。 由(1)因B非空,取a?B,由(3)a-1?B, 因a, a-1?B,由(2) 则a*a-1?B, ?e?B, ?B存在幺元,从而B,*是子群。 推论：G,*是群,H?G,H,*是子群的充要条件是 (1)H非空 (2)?x,y?H, 均有 x*y-1?H 证明：由定理5(1)(2)(3)?推论(1)(2)是显然的。 现由推论(1)(2)?定理5(1)(2)(3),只要证(2)(3) 因H非空,取x?H,由(2)x,x-1?H ?x*x-1?H,?e?H再由(2)?a?H,因e,a?H,则e*a-1?H, 即a-1?H,定理5的(3)证得, ?a,b?H,由上b-1?H再由(2)a, b-1?H,则a*(b-1)-1?H