第六章代数方程与差方方程模型.ppt

不同年龄组的繁殖率和死亡率不同. 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律. 假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 以雌性个体数量为对象. 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di 假设 与 建模 xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量 ~按年龄组的分布向量 预测任意时段种群按年龄组的分布 ~Leslie矩阵(L矩阵) (设至少1个bi0) 稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根?1， 若L矩阵存在bi, bi+10, 则 P的第1列是x* 特征向量 , c是由bi, si, x(0)决定的常数 且 解释 L对角化 稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布 ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关. ~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减， ?称固有增长率 与基本模型 比较 3）?=1时 ~ 各年龄组种群数量不变 ~ 1个个体在整个存活期 内的繁殖数量为1 稳态分析 ~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比 （与si 的定义 比较） 3）?=1时 人口模型 连续型人口模型的离散形式 xi(k)~k年i 岁的女性人数(模型只考虑女性人口). bi(k)~k年i 岁女性生育率(每人平均生育女儿数). di~i 岁女性死亡率，si=1-di~存活率 [i1, i2]~生育区间 k年育龄女性平均生育女儿数 ——总合生育率(生育胎次) ~年龄分布向量 hi~生育模式 人口模型 存活率矩阵 生育模式矩阵 x(k)~状态变量, ?(k)~控制变量 双线性方程(对x(k), ?(k)线性) 原模型 物理量的选取 基本量纲的选取 基本解的构造 结果的局限性 ? (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的. 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲. 有目的地构造 Ay=0 的基本解. 方法的普适性 函数F和无量纲量未定. 不需要特定的专业知识. 6.3.7 量纲分析法的评注 物理模拟示例：波浪对航船的阻力 航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度?, 重力加速度g . 物理模拟: 按照一定的比例尺寸构造它的物理模型,通过对模型的研究得出原型的结果. 量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸的确定. 6.3.7 量纲分析在物理模拟中的应用 物理模拟示例：波浪对航船的阻力 π定理 原型船 模型船 模型船的 均已知 当原型船的 给定后计算 f 物理模拟 物理模拟示例：波浪对航船的阻力 原型船 模型船 模拟条件 量测模型船阻力f，可计算 f. 按一定尺寸比例建造模型船, 并调节船速. 无量纲化示例：火箭发射 m1 m2 x r v 0 g 星球表面竖直发射火箭. 初速v, 星球半径r, 星球表面重力加速度g. 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律. t=0 时 x=0, 火箭质量m1, 星球质量m2 牛顿第二定律，万有引力定律 ——3个独立参数 用无量纲化方法减少独立参数个数 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc, tc （特征尺度） —无量纲变量 如 利用新变量 将被简化 令 xc, tc的不同构造 1）令 ?为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数 的不同简化结果 3）令 ?为无量纲量 2）令 ?为无量纲量 用无量纲化方法减少独立参数个数 1) 2) 3) 的共同点 只含1个参数——无量纲量? 解 1) 2) 3) 的重要差别 考察无量纲量 在1) 2) 3) 中能否忽略以?为因子的项？ 1) 忽略?项 无解 不能忽略?项 无量纲化方法 2) 3) 忽略?项 不能忽略?项 忽略?项 1) 2) 3) 的重要差别 无量纲化方法 火箭发射过程中引力m1g不变 即 x+r ? r 原问题 可以忽略?项 是原问题的近似解 1) 2) 3) 的重要差别 无量纲