第十一章-弯曲变形.ppt

梁的弯曲变形 基本概念 梁的挠曲线、挠度和转角 在横力或力偶作用下，梁的轴线由直线变为曲线，此弯曲后的轴线称为梁的挠曲线（挠曲轴） 在平面(对称)弯曲的条件下，挠曲线是一条连续、光滑的平面曲线 对于细长梁，略去剪力对变形影响 平截面假设成立: 变形的横截面与挠曲轴垂直 梁的挠曲线近似微分方程 梁的挠曲线近似微分方程 中性层曲率表达式 梁的挠曲线近似微分方程 曲率数学表达 M和(d2w/dx2)的符号 积分法求梁的位移 积分法求梁的位移 对等截面直梁，由挠曲线微分方程 积分法求梁的位移 积分法求梁的位移 直梁的变形分析归结为在一定边界条件下求解挠曲线的近似微分方程，即求解相应微分方程的边值问题 例题1 解 如图建立坐标系，从而，截面的弯矩为 例题1 由边界条件 例题2 解 : 例题2 利用梁的挠曲线微分方程 例题2 于是，梁的挠曲线方程为 转角方程为 例题3 解： 由整体平衡得 FAx=0， FAy= Pb/l FBy= Pa/l 例题3 从而，截面的弯矩为 例题3 得 例题3 由边界条件 和连续性条件 例题3 于是，梁的挠曲线方程为 例题3 梁的最大转角： 例题3 梁的最大挠度: 梁的最大挠度发生在w′= 0处 例题3 从而，梁的最大挠度为 例题3 因此，可用梁的中点挠度代替梁的最大挠度。 例题3 对于简支梁，不论受（F, q）作用，只要挠曲轴上无拐点（朝一个方向弯曲）,其最大挠度值可以用梁中点处的挠度值代替，即 梁位移的叠加法 叠加原理 在小变形、线弹性假定下，所求得的梁挠度和转角均与载荷成线性关系，即各载荷对梁位移的影响是独立的。 叠加原理 于是 ，可利用若干已知的、简单的梁变形结果得到较复杂载荷作用下的梁的变形结果 图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为EI，受有在A端的集中力偶M0和均布载荷q的作用，求梁任一截面的转角和挠度。 例题1 记: 原问题的梁的挠度为w,转角为q； 问题I的梁的挠度为wI，转角为qI； 问题II的梁的挠度为wII，转角为qII。 例题1 对问题I，梁的挠度为wI和转角为qI分别为 例题1 利用叠加原理，原问题的挠度w，和转角q 分别为 例题2 解 根据叠加原理，将问题分解为如下两个子问题，并如图建立坐标系。 例题2 记 问题I的梁跨中截面的挠度为wcI，转角为qAI和qBI ； 问题II的梁的挠度为wcII，转角为qAII和qBII。 例题2 对问题I，梁跨中截面的挠度wcI，转角qAI和qBI分别为 例题2 对问题II，根据反对称性，梁跨中截面的挠度为0，并且，跨中截面的转角不为0，但其横截面的弯矩为0。因此，它等价于与两端简支承受均布荷载q/2的梁（问题II）。 例题2 因此，对问题II，梁跨中截面的挠度wcII，转角qAII和qBII分别为 例题3 例题3 例题3 对问题I，由梁AB段内的剪力和弯矩为零，所以，AB段不变形。BC段相当于悬臂梁，故问题I可等价于问题I′。 例题3 对问题II ，横向力qa由支撑B承受，不引起梁的弯曲。而在弯矩qa2/2作用下，由于梁BC不变形（不受力）。所以，此时等价于简支梁AB的弯曲变形，由简支梁的结论知，梁截面B处的转角为qB为 例题3 所以，截面C处的总挠度和转角分别为 例题3 (1)分别计算由于各梁段的变形在需求变形处引起的变形， (2)计算其总和 ——逐段分析求和法 例题4 简单静不定梁 简单静不定梁 静不定梁问题的概念 静定梁——未知量（支承反力）可由梁的静力平衡方程确定 静不定梁——未知量（支承反力）不能由梁的静力平衡方程完全确定，即未知量的数目多于平衡方程的数目。 静不定梁亦称为超静定梁 对于静不定梁，支承反力的数目与独立静力平衡方程的数目差称为静不定梁的梁静不定次数 简单静不定梁 静不定问题的求解步: 确定静不定问题的次数 解除多余的约束，代之于约束反力，使问题成为含约束反力的静定问题——称之为原静不定梁的相当系统 求解此静定问题，并根据多余约束处的变形协调条件，建立多余约束反力的补充方程，并由此求解出多余约束反力 利用平衡方程，求解出所有约束反力，从而得到梁的内力、挠度和转角等物理量 例题1 例题1 例题1 例题2 悬臂梁AB在自由端承受集中力F 的作用。因其刚度不够，用一根短梁加固，如图所示。设二梁的抗弯刚度均为EI，计算梁AB最大挠度的减少量。 例题2 用一根短梁加固后，结构为一次超静定。 选择C处的支承为多于约束，解除约束，代之以约束反力FR, 如图所示。 例题2 悬臂梁AB在自由端集中力F和约束反力FR作用下C处的挠度为（附录） 例题2 悬臂梁AB在自由端集中力