专升本高数二导数.ppt

(二) 导数的应用 1. 函数单调性的判别法 如果函数可导的话，导数与函数的增减有很大的关系。 定理1的条件结论可改写成： 列表讨论 一般来说，用导数为零的点来划分单调区间，有时，导数不存在的点也可用来划分单调区间。 “ ”表示单调增加“ ”表示单调减少。 2. 函数的极值及其求法 极小值,极大值统称极值，极小点,极大点统称极值点。 注意：极小值、极大值与最小值、最大值的差异。 对可导函数来说，极值点必为驻点，而驻点不一定是极值点。 什么条件下驻点必为极值点呢？ x1 x2 y 0 x y 0 x1 x2 x 3. 曲线的凹凸性 用定义来判定函数 f (x)的图形是凹还是凸是非常困难的，下面给出充分条件。 4. 曲线的拐点 我们把曲线凹凸性发生转变的转折点称为拐点。 2）水平渐近线 1）垂直渐近线 5. 曲线的渐近线 6. 最大值、最小值问题 由闭区间上连续函数的性质知闭区间的连续函数必能取到最大值、最小值。 最大(小)值必在端点或极大(小)点处取到。 所以只要计算端点值和可能极值点的函数值加以比较即可。 第二章 一元函数微分学 §2.1. 导数与微分 我们再用极限来研究变量变化 的快慢程度，这即是微分学中 的重要概念—导数。 1. 定义 (一) 导数的概念 如果函数 f (x) 在点 x0 处的导数存在，那么称函数f (x) 在点 x0 处可导，反之，称为不可导。 左、右导数 2. 导数的几何意义 曲线的切线的斜率即为函数的导数。 3. 可导与连续的关系 由导数定义可知： 可导 ?连续 (二) 曲线的切线方程及法线方程 (三) 求导公式 函数在任意点 x 处的导数 仍是 x 的函数，称为 f (x)的导函数。 1. 基本导数表 2. 函数和、差、积、商的导数 3. 复合函数和反函数的导数 (四) 隐函数的导数 利用先取对数再求导的求导方法称为对数求导法。 (五) 对数求导法 (六) 高阶导数 1 . 高阶导数概念 为了形式上统一 二阶及二阶以上阶导数统称为高阶导数 (七) 微分 1. 微分的定义 微分是微积分学中又一基本概念，它和导数有着极其密切的关系。 定义：设函数 y = f (x)在 x0 的某个邻域内有定义,如果 存在一个与 Δx 无关的量 A 及一个 Δx 的高阶无穷小o(Δx) ，使得函数增量 Δy 可表示为 Δy=AΔx+o(Δx) ，则称函数 f (x) 在点 x0 处微分存在 , AΔx 称为函数在 x0 处的微分， 若函数 f (x) 在点 x0 的微分存在，则称函数在该点可微。 3 . 微分与导数的关系 2 . 微分的几何意义 为了形式上统一，记 dx= Δx ，则 dy = f (x)dx 任意点 x 处的微分称为函数的微分，记作 dy 或 df (x)即 dy = f (x) Δx 4 . 基本微分表和微分运算法则 微分运算法则 5. 微分形式不变性 这一性质又称微分形式不变性。 （一）洛必达法则 §2.2.导数的应用