桥梁软件应用结构分析的有限元法.ppt

第二章 结构分析的有限元法 2.1 有限元法发展简况 2.4 算例 2.4.1 平面三角形常应变单元 任意区域三角形单元网 格剖分示意图 典型三角形单元 y x o 单元内任意点(x,y)的位移 坐标x和y的函数 建立单元位移函数 通过插值方法建立，即用单元的节点位移来表示单元内任意点的位移 1. 单元位移函数 2.4 算例 典型三角形单元 y x o 单元位移函数选用坐标x和y的一次多项式 待定系数 未知量 求解(2)(3)得到 2.4 算例 2.4 算例 代入 将求得的 得到用单元的节点位移表示的单元位移函数 式中 是单元形状函数，简称形函数 是常数，取决于单元的三个节点坐标 返 回 P24 2.4 算例 三角形单元的面积A 单元位移函数表达式 2.4 算例 写成矩阵形式 简写为 其中， 表示单元内任意点处位移的单元位移函数列阵 为形函数矩阵 返回P28 2.4 算例 形函数的性质 在节点上形函数的值是 式（6）表示形函数Ni在其自身节点上的值等于1，在其他节点上的值等于0，即 1 单元中任意一点上的各个形函数之和等于1，即 2 2.4 算例 由 2.4 算例 小结 （1）本节的三角形单元，形函数是线性的，为x、y的一次函数； （2）在单元内部和各条单元边上，位移也是线性的，可由两个节点的位移唯一确定； （3）相邻单元的公共节点的节点位移是相等的，因此，能保证相邻单元在公共边界上以及单元内部的位移连续性。 2.4 算例 单元位移函数确定后，根据几何方程 求得单元内任意点处的应变，即单元应变 2. 单元应变和单元应力 2.4 算例 由 形函数对坐标变量求偏导 式（8）代入式（7）中，得到 返回P28 由式（9）得到 2.4 算例 单元应变矩阵（几何矩阵） 分块矩阵 参数 由单元的节点坐标确定，因此，它们取决于单元形状，当单元的节点坐标确定后，它们都是常量，所以，3节点三角形单元的应变矩阵[B]是常数矩阵 2.4 算例 根据物理方程 其中 为平面应力（平面应变）问题的弹性矩阵 平面应力问题 平面应变问题 应力矩阵[S]也是常数矩阵 单元应力矩阵 返回P28 （1）3节点平面三角形单元，应变矩阵和应力矩阵都为常数矩阵； （2） 3节点平面三角形单元，各点的应变和应力都是相同的，且是常数，所以3节点三角形单元是常应变单元，也是常应力单元； （3）采用3节点三角形单元时，在应力变化剧烈或应力梯度较大的部位，单元划分应适当加密。 2.4 算例 小结 3. 单元刚度矩阵 2.4 算例 分析 结构在载荷作用下产生变形和应力，于是在各单元之间就产生相互作用。实际上，各单元之间的相互作用是通过相邻边界上（即，单元的边，实际是面）的分布力而产生的。 按照有限元方法，结构离散化为一个个单元后，单元之间的相互作用就由单元的节点力来实现，即用单元节点力等效代替相邻边界上的相互作用力，这样，节点力就与单元应力相关，而单元应力与节点位移相关，因此，单元节点力与单元节点位移相关。 建立单元节点力与单元节点位移之间的关系 表示单元节点力 单元节点位移 由（9）式 2.4 算例 由（12）式 把一个单元作为分析对象时，可以把节点力看作外力。单元节点力和单元节点位移之间的关系可由虚位移原理导出 在外力作用下，处于平衡状态的变形体，当发生约束允许的任意 微小的虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于整个体积内的 应力在虚应变上所做的虚功。 推导 1 令单元的节点虚位移为 由P18 由(9)式 2.4 算例 2 节点力在虚位移上所做的虚功为 3 单元应力在虚应变上所做的虚功为 单元体积 将 代入(19)式 由于节点虚位移是任意的 4 建立单元的虚功方程为 由单元的虚功方程 2.4 算例 任意性 相等 节点力和节点位移之间的关系式就建立起来了 令 则(21)式变为 单元刚度方程 注意：这里，节点力不是结构上的外载荷，而是按虚位移原理把单元边界上的分布力近似等效到单元节点上的一种节点力。节点力在实际结构中是不存在的 总结：式（22）、（23）是由三角形常应变单元推导得到的，但是，这两式及其推导过程所基于的原理和方法具有普遍性。原则上说（22）式是位移有限元分析中普遍适用的单元刚度矩阵表达式，对于不同单元，只是其中的具体计算细节不同。 三角形常应变单元的刚度矩阵分析 2.4 算例 一般情况，单元应变矩阵[B]是坐标的函数矩阵。 这里，三角形常应变单元，[B]是常数矩阵。 如果材料是线性的、匀质的，矩阵[D]也是常数矩阵。 单元厚度t是常量,则dV=tdxdy,因此，三角形常应变单元的刚度矩阵可以写成： 将单元刚度矩