PH分布及其在随机模型中的应用PH分布及其在随机模型中的应用.pdf

维普资讯 一9誊 摹2期 应用藏学与计算披学学报 Vb1．9 NO．2 1孵5年 12月 COMM ．ON APPL．h【ATH．^ND COMPUT． Dec．，1995 7 PH分布及J其．在、随机模，型中、的，应用一 n2 (薰山太太学基础部，tit岛，oeeco4) (…中科院应应用数孚研究研 j瞄 100080) 1 ? 一I 率文详尽地舟甥了相型(PH)分布的理论和技巧．井对其在各种随机模型中的应 用给出膏羹的评连 羹t弼：抽型分布．拇生置过社，蛄袖矩阵， { 手 本世纪七十年代 以来，PH(phaaetype)分布逐渐成为排队，存贮，水库，可靠性及 相关随机模型分析的重要工具．取代指数分布在随机模型解析处理中的特殊地位，可以 说，随机模型的分析方法发展到了PH分布的新阶段．这一进展在理论和实际应用 中都 有重要意义． 本文系统地介绍PH分布 的基本理论和技巧．并对在各种随机模型中的应用给出简 要评述．迄今．论述PH分布的主要文献是Neuts 第二章，我们的介绍以此为框架， 并包含近十余年关于PH分布理沦和应用的大量新结果． LPH分布的产生和描述 1．1 历史源 由 熟知，对各种 随机模型进行解析处理的主要障碍，是条件概率引起的高度复杂性． 广泛使用的方法是约定所涉及的变量服从指数分布，通过无记忆绕过这一 困难．基于指 数分布的经典随机模型理论见专著[1】．3【l等．但是．这样一来不仅大大缩小了所研究模 型的范围。也极大地降低 了模型的应用价值．对加工时间，部件寿命等随机变量，指数 分布假设的不台理性是显而易见的．一方面，商开指数分布，定量的和定性 的分析都面 临实质性困难；另一方面，指数分布假设又是加在随机模型上的极其严格的限制．这一 直是随机模型分析中的突出矛盾． 寻求佩持指数分布易处理的优点，又能包罗更广的新分布类的努力，可 以追朔到 · laⅡg的早期工作 【I．他从指数分布出发，构造了位相型的Erlang分布．在其后漫长的岁 月里．许多作者尝试过各种混合型分布，其中主要是广义Erlang分布和超指数分布．所 有这些分布都有有理的Laplace-Stieltjes变换(LST)，这就推动了Cox在一系列工作中发展 了有理变换分布类的理论3【8,39】．但是，这一分布类又过于宽泛，在很大程度上失去 了指 数分布易处理的优点，PH分布类正是Cox类中保持了指数分布特色的一个子类． PH分布是一个有限状态Markov过程(MP)吸收时问的分布．Jens~iL首先把这一分 布用于一类经济模型 I．但是，他只作为符合模型结构的一个随机变量分布来使用，未 能提供有力的处理方法．使PH分布成为有力工具的关键性工作是Neutsl“I该文系统地 发展了PH分布的矩阵表示和解析处理技巧．PH分布函数被表成 矩阵指数 形式．相 当于把指数分布从数值参数到矩阵参数的一种推广．其LST和原点矩也都有简洁的矩阵 奉文 1993年l2月23 日收到 ·国素 自然科学基金资助项 目 维普资讯 一 2 应用数学与计算数学学报 9眷 表示，从而显示 了PH分布与指数分布之间的深刻类 比．含有PH变 的随机模型的指 标，通常都可用矩阵的代数公式表出．使用这类矩阵方法，以优美简练的形式统一并推 广了分散在文献 中表面上极不相同的大量结果，这些结果通常是在有微小差别的各种广 义Erlang分布或超指数分布假设下得到的．这就显示了PH分布在保持指数分布 易处理 上的独