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第 3 章 多元方差分析与重复测量方差分析 3. 1 多元方差分析 3 . 1. 1 模型简介 1. 问题的提出 目前有些家长、教师、校长常担心素质教育是否会导致学生成绩下降 这就涉及一个如何对 学生成绩(如语文、数学、外语、体育等)进行综合评价的问题。试想将某校某年级的学生按班级 随机分成两组,一组施以素质教育,另一组仍沿用传统的应试教育。考察某次摸底考试的两种教 育模型对学生成绩的影响。很容易想到的分析方法是对两组学生各科成绩进行t 检验,分别计 算出各门课程的 t 值、P 值,然后回答素质教育是否降低学生的语文成绩,是否降低数学成绩 ……但很可能出现的结果是,某一(几)门课程成绩检验结果P 值 0. 05,而其他的课程成绩检 验结果P 0. 05。这样对于素质教育是否降低学生学习成绩难以下一个综合的结论。在这个问 题中,对一个观察单位的观测指标(因变量)常有多个,且各指标间又往往相互联系、互相影响。 对于这种资料,可能有的人会将各个反应变量割裂开分别进行统计分析,就如同上面所提到的分 别进行t 检验一样,但这种分析方法有以下几个缺点: (1)检验效率低。可能的一种情况是两组(或多组)观察对象的多个观察指标的联合分布 之间有差别,而单独对每个观察指标进行统计学检验却没有统计学意义。当然反过来也有可能。 但并不是说研究者可以随意地将20 个甚至更多个互不相关的观察指标放在一起,考察各组间反 应变量的总体联合分布之间有无差别,有可能一个有真正有差别的观察指标其差别会被其他许 多没有差别的观察指标稀释掉。所以是否考察多个观察指标的联合分布,要看这几个观察指标 之间是否存在相关关系。 (2)犯一类错误的概率增大。假设有p 个观察指标,对每个指标进行 t 检验(或方差分析), 一类错误的概率 α 设定为0 . 05,根据乘法原理,p 个观察指标的p 次检验结果均正确的概率为 p (1 - 0. 05 )。当观察指标数为5 时,则5 次检验结果均正确的概率为0. 773 8,此时犯一类错误的 概率为 1 - 0. 773 8 = 0. 226 2。当观察指标数为10 时,犯一类错误的概率则增大为0 . 401 3 。这 一情形类似于多组比较使用两两t 检验所遇到的问题。 (3 )一元分析结果不一致时,难以下一个综合结论。如上面素质教育的例子,就很难说素质 教育是否会导致学生学习成绩下降。 (4 )忽略了变量间相关关系。导致只见树木,不见森林。单因变量的分析结果不能简单地叠 ·50 · 加起来向多因变量推广,就如同在地面上(二维)认为地球是平的,但实际上在太空中(三维)一看 才发现地球是个球面一样,仅仅进行单因变量的分析会损失相当多的信息,甚至得出错误的结论。 对这一类资料进行分析有两种思路:使用因子分析先对因变量中蕴含的信息进行浓缩,然后 再对提取出的公因子进行后续的分析,详见本书因子分析一章;另一种解决方法是采用本章所介 绍的多元方差分析(Multivariate Analysis Of Variance,MANOVA)。这里的多元是真正意义上的 多元,即反应变量为多个,而一般意义上的多元统计分析是对反应变量为一个,而自变量有多个 的资料的统计分析。 多元方差分析的基本思想与前文述及的一个反应变量的方差分析相似,都是将反应变量的 变异分解成两部分:一部分为组间变异(组别因素的效应),一部分为组内变异(随机误差)。然 后对这两部分变异进行比较,看是否组间变异大于组内变异。从理论上讲组间变异再小也不可 能比组内变异小,因为若组别因素效应为0,则组间变异应该等于组内变异,因此多元方差分析 与单个反应变量的方差分析一样,也是单侧检验(即查阅的是F 分布的单侧累积概率值)。所不 同的是,后者是对组间均方与组内均方进行比较,而前者是对组间方差协方差矩阵与组内方差协 方差矩阵进行比较。 2 . 多元方差分析对资料的要求 (1)各因变量服从多元正态分布。多元方差分析对于多元正态分布的要求并不高,实际应 用中这一条件通常弱化为每一个反应变量服从正态分布即可。若各反应变量服从多元正态分 布,则每个反应变量的分布(即该多元正态分布的边际分布,Marginal Distribution)必然也服从正 态分布,而反过来则未必成立。但可以肯定的是,只要有一个反应变量不服从正态分布,则这几 个反应变量的联合分布肯定不服从多元正态分布。 (2 )各观察对象之间相互独立。