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一、一阶线性微分方程 二、齐次线性方程的解法 三、非齐次线性方程的解法 第四节 一阶线性微分方程 第七章 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) ? 0, 称为非齐次方程 . 若 Q(x) ? 0, 称为齐次方程 ; 例如 线性的; 非线性的. (1) ? 是齐次线性方程. 是非齐次线性方程? ? y?? 3x2?5x (2) 3x2?5x?5y? ? 0 是非齐次线性方程? (3) y? ? ycos x ? e ?sin x 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？ (4) 不是线性方程? (5) ? 或 不是线性方程? 分离变量: 两边积分得: 故通解为: 二、齐次线性方程的解法? (使用分离变量法) 齐次方程 是变量可分离方程 (一阶线性微分方程) 例1 求方程 的通解. 解1： 解2：这是齐次线性方程： 由通解公式得原方程的通解为： ln|y|?ln|x?2|?lnC? 原方程可变为 两边积分得 方程的通解为 y?C(x?2)? 三、非齐次线性方程 的解法? 两边积分 非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比: 对应齐次方程通解 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 非齐次方程特解 即： 是非齐次方程一个特解. 验证 是非齐次线性方程的一个特解： 常数变易法： 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 齐次线性方程的通解 非齐次线性方程： 解: 例2 例3 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令 例4 求方程 的通解. 解： 方程变为 把 y 看成是 x 的函数： 不便求解 但若写成： 则为一阶线性微分方程 于是对应齐次方程： 分离变量，并积分得 常数变易法 代入原方程 故原方程的通解为 例5： 解方程 法1. 取 y 作自变量: 线性方程. 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程 两端积分得 以u?x?y代入上式： 二、伯努利 ( BERNOULLI )方程 伯努利方程的标准形式: 2) 令 3) 求出线性方程的通解； 得 4) 换回原变量，即得伯努利方程的通解. 解法: 1) (线性方程) 方程两边除以 例3. 求方程 的通解. 解: 则方程变形为 其通解为 将 代入, 得原方程通解: 令 两边同除以 得： 内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 作业：P315 1(1),(3),(7);2(2),(4);7(1),(3) 思考与练习 1、判别下列方程类型: 提示: 可分离变量方程 齐次型方程 线性方程 线性方程 伯努利方程 2、求下列方程的通解: 3. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 利用公式可求出 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利简介,并自动返回. * 运行时, 点击相片, 或按钮“伯努利”, 可显示伯努利简介,并自动返回.