【精选】7.3 偏导数与全微分7.3 偏导数与全微分.ppt

一、偏导数 例7.9 例7.10 例7.11 函数可微的充分条件与必要条件 例7.17 四、小结 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 */28 四、小结 思考题 一、偏导数 三、高阶偏导数 二、全微分 1.【偏导数的定义】 (1)【二元函数在一点处的偏导数】 (2)【二元函数在区域内的偏导数】 注意求偏导的方法！ 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处 (3)【多元函数的偏导数】 例1 . 求 解法1 解法2 在点(1 , 2) 处的偏导数. 先求后代 先代后求再代 【解】 不存在． 2.【有关偏导数的几点说明】 (1) (2) ① ② 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； ［解］ ［例如］ ③ 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， (3). 【偏导数存在与连续的关系】 【解】 【例7.12】 按定义可知： 但函数在原点处并不连续(令y=kx,知极限不存在,故不连续). 偏导数存在 【思考题】连续 偏导数存在. 【结论】 可偏导 连续 连续. (4). 【偏导数的几何意义】 如图 (复习:反函数求导法则的几何意义) 【几何意义】 复习 一元函数 在 可微 微分 即 二、全微分 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 2. 【全增量的概念】 1. 【偏增量与偏微分】 二元函数 对x和对y的偏增量 二元函数 对x和对y的偏微分 3.【全微分定义】 即 【定义】 1. 【可微的必要条件】 事实上 可微 连续 【定理7.2】 即： ⑵可导与可微的关系: 　①一元函数：在某点的导数存在 　 微分存在． ②多元函数：各偏导数存在 　全微分存在． 【结论】多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。故偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。 即 可微 可偏导 【警惕】若偏导数存在，虽能从形式上写出 但它不一定是函数的全微分. 但如果再假定多元函数的各个偏导数连续，则可以证明函数是可微分的。即有下面的定理。 (1)习惯上，记全微分为 (3)全微分的定义（或叠加原理）可推广到三元及三元以上函数 (2)全微分符合叠加原理．即：全微分=各偏微分之和 【注】 2.【可微的充分条件】 3. 【充要条件】 （即是定义） 【注意】用全微分定义验证一个可导函数的可微性只需 验证 例7.14 偏微分在近似计算中的应用。 例7.15 多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 极限存在 三、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 【定义式】 其余类推 (2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。 (3) ［定义］二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。 【解】 说明: 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 证明 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ (2)【问题】 即混合偏导数与求导次序无关. 即：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的先后顺序无关。 例7.18 偏导数的定义： 偏导数的计算 高阶偏导数 （偏增量比的极限） 纯偏导 混合偏导 （相等的条件） 可偏导与连续的关系： 可偏导 连续