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天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 第七章 线性变换(小结、复习) 线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及 向量之间的内存联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、 数学分析中的某些变量的替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相 适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广 泛的应用. 本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变 换与矩阵的对应和相互转换. 一、线性变换及其运算 1. 基本概念:线性变换,可逆线性变换与逆变换;线性变换的值域与核，秩与零 度;线性变换的和与差,乘积和数量乘法,幂和多项式. 2. 基本结论 (1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变 为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组 (2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变 换. (3) 线性变换的基本运算规律(略). (4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一 个线性空间. V σ V V n (5) 线性空间 的线性变换 的象与核是 的子空间.若dim( ) =,则 Im(σ )由V 的一组基的象生成,而σ 的秩+σ 的零度 n =,且σ 是双射 ⇔ σ 是 单射 ⇔ Ker(σ )={0}. 二、线性变换与矩阵 1.基本概念:线性变换在基下的矩阵;相似矩阵. 2.基本结论 (1) 若, ,α ,α Lα 是线性空间V 的一个基, , ∀,β , β Lβ ∈V ,则存在唯 1 2 n 1 2 n 一σ ( ),使得,σi1α β n , 2, L, . L∈(V) i i n V V (2) 在取定 维线性空间 的一个基之后,将 的每一线性变换与它在这个 1 天津师范大学 数学科学学院 代数教研室 基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别 对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对 应逆矩阵。 (3) 同一线性变换关于不同基的矩阵是相似的;反之,若两个矩阵相似,则它 们可看作是同一线性变换关于两个基的矩阵. V σ (4) 若在线性空间 的一个基, ,α ,α Lα 下,线性变换 对应的矩阵为A , 1 2 n α σ σ α 向量 的坐标为x x ,(x , L, ) ,则 的秩=秩(A ), ( )的坐标 1 2 n ⎛y 1 ⎞ ⎛x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜y 2 ⎟ ⎜x 2 ⎟