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梯形定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 如图1,两条腰相等的梯形叫做等腰梯形. 做一做 等腰梯形同一个底上的两个内角相等 等腰梯形的两条对角线相等. 例１　如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长。 * 梯形的性质 上面的几幅图中有你熟悉的图形吗? 八年级 数学 第十九章 四边形 四边形再认识 上底 下底 腰 腰 高 夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高。 如图,平行的两边叫做梯形的底,其中较短的底叫做上底,较长的底叫做下底.不平行的两边叫做腰。 第十九章 四边形 特殊的梯形: 如图2,一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形. 图1 A B C D 图2 A B C D 八年级 数学 第十九章 四边形 在一张有平行线的纸上作一个等腰梯形,连接两条对角线,仔细的观察图形,这个图形是轴对称图形吗?设法验证你的猜想. 图中有哪些相等的线段? 有哪些相等的角? 演示 八年级 数学 第十九章 四边形 O D C B A 1、等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等 D C B A 图5 已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。 求证：∠B=∠C 。 证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，得到△DEC。 E ∵ AD∥BC，DE∥AB ∴ AB=DE ∵ AB=DC ∴ DE=DC ∴ ∠DEC=∠C ∵ DE∥AB ∴ ∠DEC=∠B ∴ ∠B=∠C 研究梯形时，常常需要添加适当的辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形，此处是移动一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线。 ∴四边形ABED是平行四边形 等腰梯形的性质1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等。 已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC。 求证：∠B=∠C 。 D C B A 图6 证明：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC ， 垂足分别为E、F F E 这也是研究梯形时常用的辅助线作法，即从同一底的两端作另一底的垂线段，它可把梯形分成一个矩形和两个直角三角形（如果是等腰梯形，所得到的两个直角三角形全等）。 ∴AE∥DF，∠AEB= ∠DFC=900 ∵ AD∥BC ∴四边形AEFD是平行四边形 ∴AE=DF 在Rt△ABE和Rt△DCF中 ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF ∴ ∠B=∠C 2、等腰梯形的性质2：等腰梯形的两条对角线相等。 已知：如图8，在梯形ABCD中， AD∥BC，AB=DC 。 求证：AC=BD A B C D 图8 证明：在梯形ABCD中 ∵ AB=DC， ∴ ∠ABC=∠DCB（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）。 在△ABC和△DCB中 ∴ △ABC≌△DCB （SAS） ∴ AC=DB E 等腰梯形为什么是轴对称图形？它的对称轴是什么？ 3、等腰梯形的对称性： A B C D 图7 如图7， 延长等腰梯形的两腰 相交于点E， H F 由∠B=∠C，AD∥BC，可知△EBC和△EAD都是等腰三角形。因此从点E作两底的垂线必平分两底。根据等腰三角形是轴对称图形，可得等腰梯形也是轴对称图形。过两底中点的直线是它的对称轴。 这也是研究梯形常用的辅助线作法，即延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形（如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形）。 书写格式： 在等腰梯形ABCD中， ∠BAD=∠ADC，∠ABC=∠BCD， AC=BD A B C D 八年级 数学 等腰梯形的性质 第十九章 四边形 对称性 等腰梯形是轴对称图形。 等腰梯形两底平行，两腰相等。 边 角 等腰梯形的两条对角线相等。 对角线 等腰梯形同一底边上的两个内角相等。 二、等腰梯形的性质 1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 （ ） 3.四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C:∠D=2:2:1:3, 则四边形的形状是 。 2. 四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C:∠D=1:4:3:2, 则四边形的形状是 ； × 梯 形 直角梯形 E 4.等腰梯形的两底之差等于腰长，则腰与下底的夹角【 】 A. 60° B. 120 ° C. 135 ° D. 150 °