【精选】§1.5 全概率公式与贝叶斯公式§1.5 全概率公式与贝叶斯公式.ppt

西南财经大学天府学院 西南财经大学天府学院TIANFU COLLEGEOF SWUFE §1.5 全概率公式与贝叶斯公式 样本空间划分 练习 10个乒乓球中有7个新球，第一次随机地取出2个，用完后放 回去，第二次又随机地取出2个， 问第二次取到几个新球的概率最大？ 三、小结 西南财经大学天府学院 一、全概率公式 二、贝叶斯公式 例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3; B ={取得红球} B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生， 1 2 3 一、全概率公式 即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B两两互斥 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 运用加法公式得 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式. 对求和中的每一项 运用乘法公式得 代入数据计算得：P(B)=8/15 基本思想 把复杂事件分解为互不相容的较简单事件之和， 通过分别计算这些较简单事件的概率，再利用概率的可加性，得到复杂事件的概率。 定理1.1(全概率公式) 如果事件 构成一个完备事件组，而且 则对于任何一个事件 ，有 (1.21) （1）全概率公式中的事件组是完备事件组； （2）该公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组； （3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。 注意： 乘法定理 证明关键：找完备事件组 ，利用概率的可加性及乘法公式 【例2】播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子。用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率？ 解：设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A1、A2、A3、A4，则它们构成样本空间的一个划分。设B=“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则： 【例3】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率为2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率. 解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 =0.025 由全概率公式得: 【例4】甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3 由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 则 B=A1B+A2B+A3B 求解如下: 可求得: 为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3 将数据代入计算得: P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14. 于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) =0.458 =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 即飞机被击落的概率为0.458. 【例5】设甲袋中有n只白球，m只红球，乙袋中有N只白球，M只红球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中取出一只，问取到白球的概率？ 解：设B=“从甲袋中取一只白球放入乙袋”，则 =“从甲袋中取出一红球放入乙袋”；B、 为Ω的划分。又设