【精选】§5.1 狄拉克函数§5.1 狄拉克函数.pdf

第五章 Green 函数 前几章主要讲授了拉普拉斯、波动方程、热传导等齐次方程的求解，对于这类方程，求 解区域非常规则（直角坐标系、球坐标系、柱坐标系），并且方程为齐次的，利用分离变量 法求解非常方便。 但对于非齐次方程，例如 2 ( ) ∇ u f x ,t ，分离变量法不再适用，本章主要采用Green 函数法求解线性非其次方程。 本章主要内容： 1、δ 函数 2 、Laplace 方程的Green 函数 3、Helmholtz 方程的Green 函数 4 、波动方程的Green 函数法 §5.1 δ 函数 一、δ 函数的定义 +∞，x 0 ⎧ ( ) δ x ⎨ ⎩0， x ≠0 +∞ ( ) +ε ( ) 其积分 ∫−∞δ x dx ∫−εδ x dx 1 性质 ∞ ( )( ) ( ) ∫−∞f x δ x dx f 0 δ(x) −ε +ε 0 x ⎧∞, x x0 或者 δ(x −x0 ) ⎨ 0, x ≠x0 ⎩ ∞ ( ) x 0 +ε ( ) 其积分 ∫ δ x −x0 ∫ δ x −x0 1 −∞ x 0 −ε ∞ ( )( ) ( ) 性质 ∫−∞f x δ x −x0 dx f x0 二、物理意义 1、直导线的电荷密度： 假设一个导线AB 上电量分布为 ( ) e x ，其电荷密度 ( ) ( ) e x +Δx −e x ( ) ( ) ρ x lim e x Δx →0 Δx 2 、单位点电荷： 假设导线AB 上只有在中心存在一个单位点电荷，即 0, x ≠0 ⎧ ( ) e x ⎨ 1, x 0 ⎩ 电荷密度 0, x ≠0 ⎧ ⎪⎪ Δx Δx Δx ( ) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ρ x ⎨e⎜ ⎟−e⎜ ⎟ e⎜ ⎟ 2 2 2 1 ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎩ Δx Δx Δx →∞, x 0 由δ 函数的定义可知，单位点电荷的密度就是δ 函数。 +∞ ( ) +∞ ( ) ∫−∞ρ x dx ∫−∞δ x dx 1 ( ) 因此，δ x 可以看成是单位点电荷密度。 当单位点电荷放在 ( ) ( ) x x0 处，点电荷密度可写为ρ x δ x −x0 当电荷量为q 的点电荷放在 ( ) ( ) x x0 处，点电荷密度可写为ρ x qδ x −x0 三、δ 函数可以看成普通函数的弱极限 极限{ } *