【精选】§5—2微积分基本公式§5—2微积分基本公式.ppt

前页 结束 后页 二、积分上限的函数及其导数（P269） 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且每给定一个x( ) 就有一个确定的积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限为变量x的函数，记作Φ(x). 注意：积分上限 x与被积表达式f (x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在积分的过程中，上限 x 是固定不变的，而积分变量 x 是在下限与上限之间变化的， §5—2 微积分基本公式 因此常记为 即Φ(x)= 定理1 证明 由积分中值定理有 结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限 x的导数等于被积函数f (t)在积分上限 x 处的值f (x). 由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分. 定理2 如果函数 f (x)在区间[a , b]上连续，则函数 Φ(x)= 是 f (x)在[a , b]上的一个原函数. 定理3 （牛顿—莱布尼兹公式） 三、 牛顿—莱布尼兹公式（P217） 证明 ∵F(x)是f (x)的一个原函数，而Φ(x)= 也是 f (x) 的一个原函数， 如果函数F(x)是连续函数f (x)在区间[a , b]上的一个原函数，则 ∴F(x)－Φ(x) = C， Φ(x)=F(x)－C. 即 令 x=a , 得 Φ(a)=F(a)－C. 上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式. 由于Φ(a) = 所以 F(a) = C, 即 再令x = b 得 由于定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以有公式 问题得证. 牛顿－莱布尼茨公式揭示了定积分与不定积分之间的内在联系,并提供了计算定积分的简便的计算方法：在求定积分的值时，只要求出被积函数 f (x)的一个原函数 F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量 F(b) – F(a)即可. 该公式把计算定积分归结为求原函数的问题. 例1 求 解 由于 是 被积函数 x2 的一个原函数，所以按牛顿—莱布尼兹公式，有 例2 求 解 由于 arctanx 是被积函数 的一个原函数，所以 * *