【精选】“科克曼女生问题”的探讨“科克曼女生问题”的探讨.pdf

第 3O卷第2期 大 学 数 学 Vo1．30，№．2 2014年 4月 COLLEGEMATHEM ATICS Apr．2014 “科克曼女生问题的探讨 谌义才 (四川新川航空仪器有限责任公司，四川 广汉 618300) [摘 要]用初等数学三个步骤解析 “科克曼女生问题”；发现 “科克曼女生问题”存在十三系列解；对 “科克曼女生 问题 ”的组解进行 了初步计算． [关键词]排列组合 ；组解；十三系列解 [中图分类号]O157．1 [文献标识码]A [文章编号]1672—1454(2014)02—0026—08 1 引 言 “某寄宿学校的 15个女生 ，每天都要三人一行外出散步一次，怎样安排才能使每个学生一周 7天内 和其他 14个女生在三人行中散步各 1次．”看似简单的数学题难倒了世界上众多著名数学家，这就是英 国数学家科克曼 (ThomasPenyngtonKirkma，1806—1895)于 1850年提 出的著名 的 “科克曼女生 问 题 ”． 在科克曼发表女生问题 的研究之后 ，西尔维斯特和凯莱对这一问题提出更苛刻 的条件．西尔维斯特 (15名女生问题 ：某班级有 15名女生 ，老师每天组织她们出去散步，第三人一行 ，问如何安排女生顺序 使每个女生 同其他女生同一行中散步 ，恰好 13周不重复．这一问题直到 1974年才 由美 国的丹尼斯顿借 助电子计算机得 以确证 ，一15如下的 13个方案 ： 星期 日 {i，n，b)，{8+i，9+i，12+i)，{3+i，7+i，10+i)，{2+i，6+i，11+i)，{1+i，4+i，5+i}； 星期一 {2+i，8+i，b)，{l+i，6+i，口)，{4+i，7+i，11+i}，{3+i，5+i，9+i}，{i，10+i，12+i}； 星期二 {11+i，12+i，b)，{4+i，10+i，n}，{6+i，7+i，9+i)，{1+i，2+i，3+i)，{i，5+i，8+i}； 星期三 {5+i，7+i，b)，{3+i，12+i，n)，{2+i，9+i，10+i)，{1+i，8+i，11+i)，{i，4+i，6+i}； 星期四 {4+i，9+i，b)，{2+i，5+i，n)，{6+i，8+i，10+i}，{1+i，7+i，12+i}，{i，3+i，11+i}； 星期五 {1+i，10+i，b}，{9+i，11+i，口)，{5+i，6+i，12+i)，{3+i，4+i，8+i)，{i，2+i，7+i}； 星期六 {3+i，6+i，b)，{7+i，8+i，口)，(5+i，10+i，11+i)，(2+i，4+i，12+i}，{i，1+i，9+i}． 其中 15名女生分别标记为n，b，0，1，2，…，l2，而数字 i一0，1，…，12．每取 i的一个值，所列的5×7个区 组就给出了所求的队形安排[】]．此后 ，由“科克曼女生问题”引申出的组合数学中的一般的科克曼三元系 存在性问题 ，一直到 1971年才告彻底解决，其 中包括中国的优秀数学家陆家羲在 内的许多数学家都作 出了贡献．从此之后 ，不但 15个女生问题安排问题 ，哪怕是 21个 、27个 、32个……，甚至是 “6N+3”(N 为 自然数)个的女生散步问题都已解决[2]． “科克曼女生问题”既是一个数学智力题 ，那就具备一定初等数学知识的人想必都可解 ，但未必都能 解．本文用初等数学知识来解析这道智力题． 2 解析 “科克曼女生问题” 用 1～15号分别代表 15个女生 ，三人一组按顺序排列组合 ，则 “科克曼女生问题”的 15个女生全部 [收稿 日期]2013—05一10 第 2期 谌 义才 ：“科克曼女生 问题 ”的探讨 27 排列组合形式见表 3． 2．1 选一周的 1号女生组合 将 2～15号女生任意分成 7组，再将 1号女生加入 ，再按顺排组合填人表 1． 2．2 选一周 的2号女生组合 2号组合亦