【精选】《固体物理学答案》第五章《固体物理学答案》第五章.doc

第五章 晶体中电子能带理论 　　　　　　　　　　　　 习题 １．晶体常数为的一维晶体中，电子的波函数为 （1）, （2）是某一函数， 求电子在以上状态中的波矢． ［解 答］ 由《固体物理教程》（5.14）式 可知，在一维周期势场中运动的电子的波函数满足 由此得 (1) 于是 因此得 若只取布里渊区内的值： ，则有 (2) 令 得 . 由上式知 =1 所以有 因此得在布里渊区内的值为 　　　　　　　　　　　　 2.一维周期势场为 其中，为常数，试画出此势能曲线，并求出势能的平均值． ［解 答］ 图5.1　一维周期势场 如图5.1所示，由于势能具有周期性，因此只能在一个周期内求平均即可，于是得 Ｖ= = = = =. 3.用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带宽度． ［解 答］ 根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表示式为 ， 其中是周期势场傅里叶级数的系数，该系数可由《固体物理教程》（5.22）式 = 求得，第一禁带宽度为 =2 =2 =2 =. 第二禁带宽度为 =2 =2 =2 = 4.已知一维晶格中电子的能带可写成 ， 式中ａ是晶格常数．是电子的质量，求 （1）能带宽度， （2）电子的平均速度， （3）在带顶和带底的电子的有效质量． ［解 答］ （1）能带宽度为 由极值条件 得 上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为 　　　　　　　 . 当取极小值，且有 　　　　　 = 当，E(k)取极大值,且有 　　　　 　　　　 由以上可得能带宽度为 　　　　　　　　　　 （2）由《固体物理教程》（5.81）式，得电子的平均速度为 （3）由《固体物理教程》（5.87）式得，带顶和带底电子的有效质量分别为 ５．对简立方结构晶体，其晶格常数为． （1）用紧束缚方法求出对应非简并ｓ态电子的能带； （2）分别画出第一布里渊区［110］110］1）非简并ｓ态电子的能带 式中是晶体参考格点最近邻格矢．对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻．取参考格点的坐标为（0,0,0）,则6个最近邻点的坐标为 简单立方体非简并s态电子的能带则为 （2）在[110]方向上 能带变为 其中 在[110]方向上,在第一布里渊区内,电子的能带如图5.2所示. 图5.2[110]方向电子的能带 电子的平均速度 平均速度曲线如图5.3所示. 图5.3 平均速度曲线 电子的有效质量 有效质量曲线如图5.4所示. 图5.4 有效质量曲线 在[110]方向有恒定电场情况下,电子的受力 电子的加速度 . 设电场方向与[110]方向相反,加速度曲线则如图5.5所示. 图5.5加速度曲线 6.用紧束缚方法处理面心立方体晶格的s态电子,试导出其能带 , 并求出能带底的有效质量. [解 答] 用紧束缚方法处理晶格的s态电子,当只计及最近邻格点的相互作用时,根据《固体物理教程》（5.60）式,其能带表示式为 ,是最近邻格矢. 对面心立方晶格,取参考点的坐标为(0,0,0),则12个最近邻格点的坐标为 (,,0),( ,0, ),(0, ,). 将上述12组坐标带入能带的表示式,得 . 能带底即的最小值对应的为(0,0,0),有《固体物理教程》(5.87)可得在能带底处