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8. 传递函数矩阵的零极点 8.1 极点和零点 SISO系统： 定义：零点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为0的那些s值。 极点——当输入u为有限值时，使输出y(s)为?的那些s值。 显然，零点是使G(s)的模为0的那些s值； 极点是使G(s)的模为? 的那些s值。 对MIMO系统，则要复杂得多。 一. Rosenbrock对零极点的定义 给定 定义：G(s)的极点为M(s)中 的根，i=1,2,…,r G(s)的零点为M(s)中 的根，i=1,2,…,r 例如 所以，零点：s=0处有三个零点； 极点：s=-1处有两个零点； s=-2处有三个极点。 二. 其它对零极点的定义 1. 不可简约矩阵分式描述 G(s)的极点：detD(s)=0的根，或，detA(s)=0的根 G(s)的零点：使N(s)或B(s)降秩的s值。 该定义等价于Rosenbrock定义。 证：设G(s)的Smith-Mcmillan标准形为M(s),则 则 而 对左不可简约MFD有同样的结论。 2. G(s)严格真时，对应的状态空间描述{A,B,C}能控，能观 则 3. 方便计算的定义 （1）G(s)的所有非零子式的最小公分母，就是G(s)的极点多项式，记为p(s)，p(s)=0的根，即为G(s)的极点。 （2）当G(s)的r阶子式，以p(s)为共同分母时，其分子的首1最大公因式，即为G(s)的零点多项式z(s)，z(s)=0的根，即为G(s)的零点。 注：各阶子式必须化为不可简约形式。 例： （1）求极点 G(s)的一阶子式即为其各个元素 G(s)的二阶子式为 （2）求零点 上边的2阶子式以p(s)为分母，则有 分母的首1最大公因式为(s-1)，故z(s)=s-1，G(s)的零点为-1。 几点讨论： （1）传递函数矩阵G(s)在复平面上的同一点出现零、极点时， 可以不形成对消。例 （2）由定义3可知，传递函数矩阵G(s)的极点，必是它的某一元素的极点；反之，G(s)的某个元素的极点，也是G(s)的极点。“一致性” （3）对零点，不存在如（2）所述的“一致性”，尽管有时相同。 （4）若s=?是G(s)的零点，则必有 但不一定rankG(s= ?)rankG(s). 如： G(s)的零点为s=-2, rankG(-2)=rankG(s) 因此，不能误把rankG(s)降秩与否作为判断G(s)零点的依据。 三. 传递函数矩阵的零极点的性质 1. 关于极点 SISO系统：考虑具有正则传递函数g(s)及不可简约实现 —{A,b,c,d}的单变量系统 定理：数?是g(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态 ，使得系统的零输入响应 证明： 必要性：由?是g(s)的极点 ?是g(s)的极点》》 ?是A的特征值 设v是与?相关联的特征向量，即 （ ?I-A）v=0 则（sI-A)v=(sI-A)v-(?I-A)v=(s- ?)v 系统输出 r=cv是不为0的常数？！ {A，c}能观：由PBH秩判据，等价于[sI-A’,c’]满秩，?s?C 对非零向量v，应有 但已有（ ?I-A）v=0，故cv?0 必要性得证。 充分性：由 导出?是g(s)的极点。 定理的意义： 若?是g(s)的极点，则能用初始状态在输出端产生模态 而不必施加任何输入； 若?不是g(s)的极点，则这是不可能的。在输出端产生 的唯一途径是在输入端施加 对MIMO系统，有相同的结论。 即：考虑具有正则传递矩阵G(s)及不可简约实现{A,B,C,D}的多变量系统。数?是G(s)的极点的充分必要条件是，存在一个初始状态x0，使得系统输出端的零输入响应为 ，其中r为非零向量。 2. 关于零点 证明见书 G(s){A,B,C} 满足 阻塞传输性。 所以，前面定义的零点也叫传输零点。 8.2 结构指数 rank G(s)=r 定义： 则