【精选】【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修5配套课件：2.3.2 等差数列前n项和的性质【随堂优化训练】2014年数学(人教a版)必修5配套课件：2.3.2 等差数列前n项和的性质.ppt

2.3.2 等差数列前 n 项和的性质 1.等差数列的定义： 2.通项公式： 3.重要性质: 复习 4.等差数列的前n项和公式 公式1 公式2 Sk S2k－Sk S3k－S2k 新知 简记：分段和成等差 题型 1 等差数列的前 n 项和的性质及应用 【例 1】等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100， 则它的前 3m 项和为( ) A．30 B．170 C．210 D．260 解析：方法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70. ∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110. S3＝a1＋a2＋a3＝210. 由③－②及②－①，结合④，得S3m＝210. 方法四：根据上述性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， 故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)． ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210. 方法五：∵{an}为等差数列， ∴设Sn＝an2＋bn. ∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100. 答案：C 【变式与拓展】 1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36， 则 a7＋a8＋a9＝( ) B A．63 B．45 C．36 D．27 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则 S6＝( ) C A．12 B．18 C．24 D．42 题型 2 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 2】 在等差数列{an}中，若 a1＝25，S17＝S9，则 Sn 的 最大值为________． 思维突破：利用前 n 项和公式和二次函数性质求解． ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0. 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0. ∵d＝－20，a10，∴a130，a140. 故当n＝13时，Sn有最大值． 方法四：由 d＝－2，得 Sn 的图象如图 D4(图象上一些孤立 点)， 图 D4 ∴当 n＝13 时，Sn 取得最大值 169. 答案：169 求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法： ①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求 出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前 n 项 和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的 性质求最值． 【变式与拓展】 3．数列{an}是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6 项为正，第 7 项为负． (1)求数列的公差； (2)求前 n 项和 Sn 的最大值； (3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值． 解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0， a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0. 又∵d∈Z，∴d＝－4. (2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列．又∵a6＞0，a7＜0， ∴当n＝6时，Sn取得最大值为： 题型 3 等差数列前 n 项和的实际应用 【例 3】 已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，Sn＝12n－n2. (1)求|a1|＋|a2|＋|a3|; (2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|； (3)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 思维突破：先求出数列的通项公式an. 解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－12(n－1)＋(n－1)2＝－2n＋13； 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合an＝－2n＋13. ∴an＝－2n＋13(n∈N*)． (1)当－2n＋13≥0时，n≤6.5. 又∵n∈N*，∴n≤6. ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＝a1＋a2＋a3＝S3＝27. (2)由(1)可知：|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10| ＝a1＋a2＋…＋a6－a7－a8－a9－a10 ＝S6－(a7＋…＋a10) ＝S6－(S10－S6)＝2S6－S10＝72－20＝52. (3)由(1)(2)可知： 当n≤6时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝12n－n2； 当n≥7时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an) ＝S6－(Sn－S6) ＝2S6－Sn＝72－(12n－n2)＝n2－12n＋72. 综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 【变式与拓展】 4．等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn， 满足 S5S6＋15＝0. (1)若 S5＝5，求 S6 及 a1；