一阶微分方程的常见类型及解法一阶微分方程的常见类型及解法.ppt

第二节 一阶微分方程 的常见类型及解法 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 求下述微分方程的通解: 类型二、齐次方程 例4. 解微分方程 例5. 解微分方程 类型三、一阶线性微分方程 2. 解非齐次方程 例6. 解方程 思考与练习 * 类型一、可分离变量微分方程 类型二、齐次方程 类型三、一阶线性微分方程 分离变量 类型一、可分离变量的微分方程 两边同时积分 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解. 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 解: 令 则 故有 即 解得 （C 为任意常数） 所求通解: 令 代入原方程得 两边积分, 得 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量: 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为 ( C 为任意常数 ) 解: 则有 分离变量 积分得 代回原变量得通解 即 (C 为任意常数) 若 Q(x) ? 0, 若 Q(x) ? 0, 称为一阶线性非齐次微分方程. 称为一阶线性齐次微分方程; 1. 解齐次方程 分离变量得 两边积分得 故通解为 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 设通解 两端积分得 解: 先解 即 积分得 即 （常数变易法）令 代入非齐次方程解得 故原方程通解为 注: 亦可直接带公式计算！