一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示.ppt

* * * 2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation 本节要求 掌握下列四种类型方程的解法（参数表示）： 1、可以解出y (或x )的方程 这里假设函数 有连续的偏导数. 解法：引进参数 ,则 (2.4.1) 变为 两边关于 x 求导，并把 代入，得 关于 x 和 p 显式方程 若已得出(2.4.3)的通解形式为, 代入(2.4.2)得 就是(2.4.1)的通解。 (ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 ，则原方程(2.4.1) 有参数形式的通解 其中 p 是参数，c为任意常数。 (iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ，则原方程(2.4.1) 其中p是参数,c为任意常数。 有参数形式通解 解法 两边对y求导 即 若求得为 则(2.4.4)的通解为 若求得为 则(2.4.4)的通解为 解法1： 解出 y 令 得 两边对 x 求导 例1 求解方程 当 时，上式乘以 p，得 积分，得 将它代入 因此，方程参数形式通解 当 p=0 时, 由 可知，y=0也是方程的解。 解出 x，得 解法2： 解出x，并令 ,得 两边对y求导 所以，方程的通解为: 此外，还有解y=0 解 令 得 两边对 x 求导，得 例2 求解方程 将它代入 得方程的通解 再由 得 将它代入 ，又得方程的一个解 此解与通解 中的每一条积分曲线均 相切(如图)(P54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给 出奇解的确切含义。P103 注意: x y o 2 、不显含y( 或x的方程 ) 解法： 引入变换 从(2.4.7)得到 则，方程的参数形式通解为 (or 引入变换 从(2.4.7)得到 ） 令 通解为 特殊情形 解法： 引入变换 从(2.4.7)得到 则，方程的参数形式通解为 (or 引入变换 从(2.4.7)得到 ) 若 有实根 则 也是方程的解。 令 通解为 特殊情形 若 有实根 则 也是方程的解。 解 令 则 由方程，得 从而 于是 求解方程 例3 通解为 例4 求解方程 解 把 代入原微分方程 令 得 由此得 且 方程的参数形式的通解为 此外, 也是方程的解。