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中考数学复习教材回归知识讲解 反比例函数在中考中的常见题型 ◆知识讲解 1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=（k≠0）． 2．反比例函数y=（k≠0）的性质 （1）当k0时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y随x的增大而减小． （2）当k0时函数图像的两个分支分别在第二，四象限内在每一象限内，y随x的增大而增大． （3）在反比例函数y=中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值． （4）若双曲线y=图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=． （5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 例题解析 例1 （2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=的图像经过点A， （1）求点A的坐标； （2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，求这个一次函数的解析式． 【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=可求得a的值，从而得出点A的坐标． （2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式． 【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a0． ∵点A在反比例函数y=的图像上，得3a=，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，a2=－2是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去． ∴点A的坐标为（2，6）． （2）由题意，设点B的坐标为（0，m）． ∵m0，∴m=． 解得m=，经检验m=是原方程的根， ∴点B的坐标为（0，）． 设一次函数的解析式为y=kx+． 由于这个一次函数图像过点A（2，6）， ∴6=2k+，得k=． ∴所求一次函数的解析式为y=x+． 例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3． （1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由． （2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？ （3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论． 【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的，而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了． 由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的． 【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，），其中00，m0． 在Rt△ABO中，AB=，OB=x0． 则S△ABO =·x0·=3，即m=6． 所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=． （2）由得x2+6x－6=0， 解得x1=－3+，x2=－3－． ∴A（－3+，3+），D（－3－，3－）． 由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有 y=．即xy=6． ∴S△DEO =│xDyD│=3，即S△DEO =S△ABO． （3）由A（－3+，3+）和D（－3－，3－）可得AO=4，DO=4，即AO=DO． 由图可知∠AOD90°，∴△AOD为钝角等腰三角形． 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断． 强化训练 一、填空题 1．（2006，南通）如图，直线y=kx（k0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．图图图2．（2006，重庆）如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数