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第六章 静电场 习题选解 6-1 题6-1图 解：以三角形上顶点所置的电荷(-q)为例，其余两个负电荷对其作用力的合力为，方向如图所示，其大小为 中心处Q对上顶点电荷的作用力为，方向与相反，如图所示，其大小为 由f1=f2，得Q=. 6-3 如图所示，有四个电量均为的点 电荷，分别放置在如图所示的1，2，3，4点上， 点1与点4距离等于点1与点2的距离，长 ， 第3个电荷位于2，4两电荷连线中点。求所用在 第3个点电荷上的力。 解：由图可知，第3个电荷与其它各电荷等距，均为。各电荷之间均为斥力，且第2、4两电荷对第三电荷的作用力大小相等，方向相反，两力 平衡。由库仑定律，作用于电荷3的力为 力的方向沿第1电荷指向第3电荷，与轴 题6-3 图 成450角。 6-4 在直角三角形的点放置点电荷， 点放置点电荷，已知，试求直角顶点处的场强。 解：点电荷在点产生的场强为，方向向下 点电荷在点产生的场强为，方向向右 根据场强叠加原理，点场强 题6-4图 设与夹角为， 6-5 如图所示的电荷分布为电四极子，它由两个相同的电偶极子组成。证明在电四极子轴线的延长线上，离中心为（＞＞）的点处的电场强度为， 式中，称为这种电荷分 布的电四极矩。 解： 由于各电荷在点产生的电场方向都在轴上，根据场强叠加原理  = 由于＞＞，式中可略去 题6-5图  又电四极矩 故 6-6 如图所示，一根很长的绝缘棒， 均匀带电，单位长度上的电荷量为， 试求距棒的一端垂直距离为的点 处的电场强度。 解：建立如图所示坐标，在棒上任取一线元在点产生的场强为  场强可分解成沿轴、轴的分量  = 题6-6图 = 点场强 方向与Y轴夹角为 6-7 一根带电细棒长为，沿轴放置，其一端在原点，电荷线密度（为正的常数）。求轴上，处的电场强度。 解：在坐标为处取线元，带电量为，该线元在点的场强为，方向沿轴正方向  整个带电细棒在点产生的电场为 题6-7图  = 场强方向沿轴正方向 6-8 如图所示，一根绝缘细胶棒弯 成半径为的半圆形。其上一半均匀带 电荷，另一半均匀带电荷。求圆 心处的场强。 解： 以圆心为原点建立如图所示坐标，在胶棒带正电部分任取一线元，与夹角为，线元带电荷量，在点产生电场强度  把场强分解成沿轴和轴的分量 题6-8图 同理，胶棒带负电部分在点的场强沿轴方向的分量与大小相等，方向相同；沿轴方向的分量与大小相等，方向相反，互相抵消，故点场强为 方向沿轴正向。 6-9 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为，在平面上开一个半径为的圆洞，求在这个圆洞轴线上距洞心处一点的场强。 解：开了一个圆洞的无限大均匀带电 平面，相当于一个无限大均匀带电平面又 加了一块带异号电荷，面密度相同的圆 盘。距洞心处点的场强 式中为无限大均匀带电平面在点产生的场强 方向垂直于平面向外 为半径为的均匀带负电圆盘在产生的场强。在圆盘上取半径为，宽为的细圆环，在点产生场强 = 方向垂直圆盘向里 故 方向垂直平面向外 6-10 如图所示，一条长为的均匀带电直线，所带电量为，求带电直线延长线上任一点的场强。 解： 在坐标为处取线元，带电量 该线元在带电直线延长线上距原点 为的点产生的场强为 题6-10图 整个带电直线在点的场强 = 6-11 用场强叠加原理，求证无限大均匀带平面外任一点的场强大小为（提示：把无限大平面分成一个个圆环或一条条细长线，然后进行积分）。 解：（1）建如图（a）坐标，以板上任一点为圆心，取半径为，宽度为的环形面积元，带电荷。由圆环电荷在其轴线上任一点 的场强公式 （方向沿轴正方向）得 题6-11（a）图 点总场强 （＞0沿轴正方向）