71高考中悄然兴起的双切线问题.doc

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明 高考中悄然兴起的双切线问题 解决双切线问题的通法 我们把过一点作圆锥曲线的两条切线叫做圆锥曲线的双切线,关于圆锥曲线的双切线问题,近年来在高考中悄然兴起;由于该类试题涉及双切线、双切点、双斜率等多种参量,而成为难点问题. [母题结构]:己知圆锥曲线C1、C2,过曲线C1上一点P作曲线C2的两条切线,交曲线C1于A,B两点,记切线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1≠k2),求k1+k2和k1k2. [解题程序]:①根据点P在曲线C1上,设点P(x0,y0)和过点P且与曲线C2相切的切线l:y-y0=k(x-x0);②由直线l与曲线C2相切的条件(当曲线C2为圆时,根据圆心到直线l的距离等于圆的半经;当曲线C2为非圆二次曲线时,把直线l的方程代入曲线C1的方程,得关于x或y的一元二次方程,根据该一元二次方程根的判别式Δ=0),得关于斜率k的一元二次方程(称为斜率方程);③由k1,k2是斜率方程的两根,根据韦达定理,求k1+k2和k1k2. 1.圆的双切线 子题类型Ⅰ:(2011年浙江高考理科试题)已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M. (Ⅰ)求点M到抛物线C1的准线的距离; (Ⅱ)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点, 若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程. [解析]:(Ⅰ)由抛物线的准线:y=-点M(0,4)到抛物线C1的准线的距离d=4+=; (Ⅱ)设P(x0,x02),A(x1,x12),B(x2,x22)(x0≠0,1,x1≠x2),过点P的圆C2的切线:y-x02=k(x-x0),则=1(x02-1)k2 -2(x02-4)x0k+(x02-4)2-1=0,设PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2是方程的两根k1+k2=,k1k2=; 由y-x02=k(x-x0)与x2=y联立得:x2-kx+kx0-x02=0,由于x0是此方程的根x1=k1-x0,x2=k2-x0kAB=x1+x2=(k1+k2)-2x0= -2x0=-,kMP=;由MP⊥ABkABkMP=-1-=-1x0=直线l:y=x+4. [点评]:解决双切线问题的关键是求两切线斜率的和与积;设出“统一”的切线方程,不仅有利于通过建立斜率方程,求斜率的和与积,而且可以避免对两切线分别运算,减少计算量,优化解题过程. 2.曲线内接三角形的内切圆 子题类型Ⅱ:(2009年江西高考试题)如图,已知圆G:(x-2)2+y2=r2是椭圆+y2=1的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点. (Ⅰ)求圆G的半径r; (Ⅱ)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E,F两点,证明:直线EF与圆G相切. [解析]:(Ⅰ)设B(2+r,y0),过圆心G作GD⊥AB于D,BC交长轴于H,则|GD|:|AD|=|BH|:|AH| r:=y0:(6+r)y0=;由点B在椭圆上+()2=1r=; (Ⅱ)设过点M与圆G相切的直线:y=kx+1,ME,MF的斜率分别为k1,k2(k1≠k2),则=32k2+36k+5=0k1+k2=-, k1k2=;将y=kx+1代入x2+16y2=16得:(16k2+1)x2+32kx=0异于零的解x=-y=E(-,), F(-,)kEF===直线RF:y-=(x+) y=x++(由32k12+36k1+5=0+===-)y=x- 圆心G到直线EF的距离d=直线EF与圆G相切. [点评]:对于椭圆、抛物线、双曲线,总存在圆,使其与任意内接三角形二边相切时,也与另一边相切,这是解析几何的著名问题,使用我们的方法可解决该名题. 3.非圆曲线的双切线 子题类型Ⅲ:(2014年广东高考试题)已知椭圆C:+=1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若动点P(x0,y0)为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. [解析]:(Ⅰ)令c=,c=,e==a=3,c=b=2椭圆C:+=1; (Ⅱ)设两切线为l1,l2;①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,由l1⊥l2l2∥x轴或l2⊥x轴x0=3,y0=2;②当l1不垂直于x轴且不平行于x轴时,设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1:y-y0=k1(x-x0),代入椭圆C的方程得:(9k12+4)x2+18(y0-k1x0)k1x+9(y0- k1x0)2-36=0;由直线l1与椭圆C相切Δ=0(x02-9)k12-2x0y0k1+y02-4=0k1是方程(x02-9)k2-2x0y0k