新人教版九年级数学竞赛专题全套.docx

九年级数学竞赛专题第一讲因式分解一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（）A．(2a+3)()2a-3)=4a-9; B．4m-9=(2m+3)(2m-3)C．m-16+3m=(m+4)(m-4)+3m; D．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z2．下面各式的因式分解中，正确的是（）A．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y); B．C．6; D．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 )3．下面各式的因式分解中，正确的是（）A．B．C．D．4．下面各式的因式分解中，正确的是（）A．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1)B．4xy + 1 – 4C．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x )D．5．下列因式分解的变形中，正确的是（）A．B．C．D．二、填空题1．在代数式中是完全平方式的是__________。2．若：被2x – 3 除后余3，则商式是__________，且a = __________。3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是___________。4．乘积=________________。5．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数___________整除。三、解答题1．分解因式; ; ; ;; ;2．已知三角形的三条边a,b,c适合等式：，请确定三角形的形状。3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。4．已知：2x – 3 和 3x + 1是f(x) = 的因式，求a,b的值。5．证明：（1）若n为整数，则一定是8的倍数；（2）若n为正整数时，- n 的值必是6的倍数；（3）四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。答案一、选择题1．B2．C3．D4．D5．C提示：1．依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选项B正确，其中选项A、D均为整式乘法。2．按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C正确。3．利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。4．利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确。5．利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。二、填空题：1．1；2．X+4.5；3．110平方厘米；4．；5．7、11、13提示：1．若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有（1）式=是完全平方式。2．根据题意，利用大除法：∴ a = 5∴，即：商式为x + 4，且a = 5.3．依题意，原正方形面积为厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.75- 7.25=(12.75+7.25)(12.75 - 7.25) = 110平方厘米4．原式5．依题意，设所求的站位数为：，a,b,c均为自然数，则∵1001=7×11×13，∵a,b,c为自然数，∴100a + 10b + c 为自然数∴7三、解答题1．分解因式：（1）十字相乘法：原式（2）配方法：原式=（3）配方法：原式（4）原式=（5）法1：原式=法2：原式=（6）法1：原式=法2：原式=（7）原式=（8）反数法：原式=2．解，依题意：而∵a,b,c为三角形的三边长∴a + b + c 0∴∵∴只有∴a = b = c，即三角形为等边三角形注：也可如下分解：原式=3．解：设这三个奇数依次为n – 2 , n , n + 2，其中n为自然数，则n 2，则依题意：(n - 2) + n + (n+2) = 251 3n=243 n=81∴ n = 9或-9当n = 9时，n – 2 = 7, n + 2 = 11;当n = - 9时,n – 2 = - 11, n + 2 = -7.所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-114．解：若(2x – 3 )和(3x + 1)都是f(x) = ax+bx+32x + 15的因式，则(2x – 3 )(3x + 1 ) = 6x-7x – 3能整除f(x)。解法1：利用多项式与多项式的大除法：∴∴a = 6且b = - 37即：解法2：∴∴n = -5, m = 1, b = -37, a = 6即5．证明：