教学课件PPT二重积分的概念与性质.ppt

思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数． 思考题解答 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线 从而 而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 例2. 估计下列积分之值 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D 例3. 判断积分 的正负号. 解: 分积分域为 则 原式 = 猜想结果为负 但不好估计 . 舍去此项 被积函数相同, 且非负, 解: 由它们的积分域范围可知 5. 比较下列积分值的大小关系: 6. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 8. 估计 的值, 其中 D 为 解: 被积函数 D 的面积 的最大值 的最小值 * 第八章 二重积分 嘉兴学院 * 第*页 第六章 二重积分 6.1.1 二重积分的概念与性质 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 二重积分的概念 求曲顶柱体的体积采用 “分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、取近似，求和、取极限”的方法，如下动画演示． 解法: 类似定积分解决问题的思想: 给定曲顶柱体: 底： xOy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “分割，, 取近似，求和, 取 极限” 1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“取近似” 在每个 3)“求和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 4)“取极限” 令 二、二重积分的定义 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 则曲顶柱体体积: 如果 在D上可积, 元素d?也常记作 二重积分记作 这时 分区域 D , 因此面积 可用平行坐标轴的直线来划 二重积分存在定理: 若函数 定理2. 定理1. 在D上可积. 限个点或有限条光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 例如, 在 D : 上二重积分存在 ; 在D 上 二重积分不存在 . 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 性质１ 当 为常数时， 性质1+ （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 性质2 对区域具有可加性 性质3 若 为D的面积， 性质4 若在D上 特殊地 则有 无公共内点，则 性质5 性质6 （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 解 解 4. 设函数 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 在第一象限部分, 则有 第八章 二重积分 嘉兴学院 * 第*页 *