数值分析教学课件PPT绪论.ppt

数值分析：数值计算方法 基础：分析、代数知识 工具：MATLAB数学软件 作业 2，4，9，12，15 由题设中的递推公式可看出， 的误差扩大了 5倍后传给 ，因而初值 的误差对以后各步 这就造成 的计算结果严重失真。 计算结果的影响，随着 的增大愈来愈严重。 要怎么做才能解决这个问题呢? 可求得I9 ? 0.017，按改写后的公式可逐次求得 不妨设I9 ? I10，于是由 将公式 变为 I8 ? 0.019 I7 ? 0.021 I6 ? 0.024 I8 ? 0.028 I4 ? 0.034 I3 ? 0.043 I2 ? 0.058 I1 ? 0.088 I0 ? 0.182 稳定的算法 ！ 在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。 2.要避免两个相近的数相减 在数值计算中，两个相近的数作减法时 有效数字会损失。 例: 求 的值。当x = 1000，y 的准确值为0.01580 (1)、直接相减 类似地 (2) 将原式改写为 则 y = 0.01581 3.尽量避免绝对值太小的数作分母 例： 如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时 结果相差这么大! 4. 避免大数吃小数 精确解为 例：用单精度计算 的根。 在计算机内，109存为0.1?1010，1存为0.1?101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 ? 1010，取单精度时就成为： 109+1=01010+0?1010=0?1010 ? 算法1：利用求根公式 算法2：先解出 再利用 注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。 例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + … + 40 + 109 5. 简化计算步骤，避免误差积累。 一般来说，计算机处理下列运算的速度为 例：多项式求值：给定的x 求下列n 次多项式的值。 解：1. 用一般算法，即直接求和法； 2. 秦九韶方法； * * 手 机邮 箱：qd-liguiling@163.com 办公室：J13-110 数 值 分 析 李桂玲 预备知识： 1.数值分析的背景 2.误差 数值分析的来源、发展 及其实际应用背景 一、举例： 已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水温（ ）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度 （如500米, 600米， 1000米…）处的水温。 理论研究 科学实验 科学计算 计算数学 二、现代科学研究的三大支柱 21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： --会用数学解决实际问题 --会用计算机进行科学计算 建立数学模型 选取计算方法 编写上机程序 计算得出结果 科学计算解题过程 数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解； 数值逼近：插值与函数逼近、数值微分 和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解：常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体积法 三、研究内容 一、误差的来源与分类 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 §2 误 差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差） 机器字长有限 —— 舍入误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差） 例如，当函数 用Taylor多项式 近似代替时，数值方法的截断误差是 与0之间。 在 机器字长有限 —— 舍入误差 用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位 ? = 3.1415926… 小数来代替无穷小数或用位数较少的小