《提优教程》2012江苏省高中数学 第63讲 极限竞赛教案.doc

极限及其运算 相关知识 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限趋近于0），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限．记作，读作“当趋向于无穷大时，的极限等于” 2.几个重要极限： （1） （2）（C是常数） （3）无穷等比数列（）的极限是0，即 3.函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a. 记作：f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a. (2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a. 记作f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a. (3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限是a， 记作：f(x)=a或者当x→∞时，f(x)→a. 4 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果那么 　　 　　 5 对于函数极限有如下的运算法则： 如果，那么, , 当C是常数，n是正整数时:, 这些法则对于的情况仍然适用 6 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续. 7.函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数. 8 函数f(x)在［a，b］上连续的定义： 如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数. 9 最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1). 10 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2). 11.最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值 . A类例题 例1 （1）等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.不能确定 分析 因为当||＜1即a＜时，=0， 当||＞1时，不存在. 当=1即a=时，=1 当=－1时，也不存在. 答案 D. 例2 已知|a|＞|b|，且 (n∈N*)，那么a的取值范围是( ) A.a＜－1 B.－1＜a＜0　　　C.a＞1 D.a＞1或－1＜a＜0 分析 左边= 右边= ∵|a|＞|b|，∴||＜1.　　∴()n=0 ∴不等式变为＜a，解不等式得a＞1或－1＜a＜0. 答案：D. 说明 在数列极限中，极限qn=0要注意这里|q|＜1.这个极限很重要. 例3 (1). (2) (1)分析 先因式分解法，然后约分代入即得结果。 解：. (2)分析 分子、分母同除x的最高次幂. 解： 例4 . 分析 进行分子有理化. 解：. = 链接 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x的最高次幂；④分子有理化法. 情景再现 1 已知数列{log2(an－1)}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则 　　）= （　 ） 　　A．2　　 B．　　 C．1　　 D． 2 =8，试确定a，b的值. B类习题 例5　已知下列极限，求a与b. (1) (2) (3) 分析 此题属于已知x趋向于x0(或无穷大)时，函数的极限存在且等于某个常数，求函数关系式的类型.上边三个小题都不能简单地将x=x0直接代入函数的解析式中，因为(1)(2)中的x不趋于确定的常数，(3)虽然趋于1，但将x=1代入函数关系式中，分母为零.因此，解决此类问题的关键，是先要确定用哪种方法求极限，再将函数的解析式进行适当的变形，然后根据所给的条件进行分析，进而确定a，b的值. 解 (1) 1° 如果1－a≠0， ∵ ∴不存在. 2° 如果 1－a=0， ∵ =－(a+b)=0 即a+b=0 ∴ 解：(2) 要使极限存在1－a2=0. ∴ 即1+2ab=0，a+1≠0. ∴ 解：(3) 当x→