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一个函数图象的自对称与两个函数图象的互对称 奉化市江口中学(315504) 陈峰 一个函数图象的自对称与两个函数图象的互对称是函数中比较容易搞错的知识点之一，而在高考或许多模拟题中对这块内容比较看重，不同的题目时有出现.希望通过本文能给读者在这类问题时一点启示. 一、一个函数图象的自身成轴对称 若函数满足，则函数的图象关于直线对称. 证明：设点P是图象上任意一点，则它关于直线的对称点Q坐标为 ， ， 点Q的坐标满足方程，即点Q也在函数的图象上， 函数的图象关于直线对称. 特例 若函数满足，则函数的图象关于y轴对称. 实例 1.已知函数的图象关于直线对称，求实数a的值. 解：函数的图象关于直线对称， ， ， ， ， 2.探求函数的对称轴. 解：假如函数的对称轴为直线， 则由知： 化简得： 使上式恒成立，则 即当系数满足时，函数有对称轴，当系数不满足时，函数无对称轴. 二、一个函数图象的自身成中心对称 若函数满足，则函数的图象关于点对称. 证明：设点P是图象上任意一点，则它关于点的对称点Q坐标为 ， ， 点Q也在函数的图象上， 函数的图象关于点对称. 特例 若，则函数的图象关于原点对称. 实例 1.已知函数的图象关于点（1，1）成中心对称，试确定函数的表达式. 解：由 或 函数的表达式为或 2.求三次函数图象的对称中心. 解：设对称中心为点, 由,得 化简得： 要使上式恒成立， 三次函数图象的对称中心为. 三、两个函数的图象成轴对称 已知函数，则函数与函数的图象关于直线对称. 证明：在函数的图象上任取一点P，则， P关于直线的对称点为Q， ， 点Q在函数的图象上， 函数与函数的图象关于直线对称. 特例 1.函数与的图象关于y轴对称； 2.函数与函数的图象关于y轴对称. 实例 1.试求函数与的一条对称轴. 解：取， 则 函数与的一条对称轴直线 同理直线均是它们的对称轴. 一般地，两函数与（A 0，0）的对称轴为直线. 2.求与函数的图象关于直线成轴对称的函数的表达式. 解：取 则 关于直线成轴对称的函数为 即为所求函数. 四、两个函数的图象成中心对称 已知函数，则函数与函数的图象关于点对称. 证明：在函数的图象上任取一点P，则， P关于点的对称点为Q， ， 点Q在函数的图象上， 函数与函数的图象关于点对称. 特例 函数与的图象关于原点对称. 实例 1.试求函数与的一个对称中心. 解：取 函数与关于点对称. 同理直点均是它们的对称点. 一般地，两函数与（A 0，0）的对称中心为点. 2.求与函数的图象关于点（2，1）成中心对称的函数的表达式. 解：取 关于点（2，1）对称函数为, ,即为所求函数. 2