一元函数积分学复习.doc

第三部分 一元函数积分学 考试内容 原函数与不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 不定积分的换元积分法和分部积分法 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 公式 定积分的换元积分法和分部积分法 广义积分的概念及计算 理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法．了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，掌握牛顿－莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法．了解变上限定极分定义的函数并会求它的导数．3 会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用积分求解一些简单的经济应用问题.4.了解广义积分收敛与发散的概念，会计算广义积分，了解广义积分（此处略表达式）的收敛与发散的条件．,则称F(x)是函数f(x)的一个原函数. 原函数的特性: 10若函数f(x)有一个原函数,则它就有无穷多个原函数; 20在区间I上连续的函数f(x)必然存在原函数, 且在该区间上原函数也必连续. 30由于初等函数在有定义的区间上是连续函数,所以每个初等函数在有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.如等的原函数就无法用初等函数表示. 40若分段函数的分界点是函数的第一类间断点,则包含该点在内的区间不存在原函数. 不定积分的概念 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分.即若函数F(x)是f(x)的一个原函数,则(C是任意常数). 注意:对同一个不定积分，采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数. 这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致. 2.不定积分的基本性质 ①积分运算与微分运算互为逆运算. ②常数可以提到积分号外面. ③代数和的积分等于积分的代数和. 3.基本积分公式 基本积分公式不定积分的换元积分法和分部积分法 换元积分法换元积分法法 注意: 10运算较熟练后可不设中间变量. 20凑微分法后公式仍然成立. 30常见的凑微分形式见指南p.64. Ⅱ第二类型的换元积分法 注意: 10常见的三角代换类形见指南p.67; 20若被积函数含有的因子,可作代换,消去根式化为代数有理式的积分. 30倒代换:设m,n分别为被积函数的分子、分母关于x的最高次数,当n-m1时,用倒代换可望成功. 40指数代换:当被积函数f(x)由所构成的代数式, 化简被积函数后再积分;当被积函数f(x)含有根式可消去根式, 化简被积函数后再积分. 分部积分法 称为分部积分分部积分分积分分部积分 典型例题 5.定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 定积分的概念函数 由定积分的定义,可推出以下结论: 定积分只与被积函数和积分区间有关,定积分是一个确切的实数; 定积分的值与积分变量无关,即; 交换积分上、下限，定积分的值反符号,即 函数的可积性 10函数函数函数函数函数函数 函数函数基本性质定积分中值定理函数.也可写为 ,所以定积分中值定理定积分性质变上限定积分定义的函数及其导数 Newton－Leibniz）公式 变上限的积分函数及其导数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 是函数f(x)在区间[a, b]上 注意: ①当被积函数f(x)连续(或有第一类间断点),变上限的积分函数是连续、可导的函数f(t)在区间[a, x]上 的变限积分函数求导数,必须按照复合函数的法则求导数.即 ③对形如变上限的定积分,由于被积函数f(t, x)中含有参变量x(t是积分变量),在对上限求导时,必须先通过变量替换消掉f(t, x)中的参变量x,使其成为只是积分变量的函数,然后才能对变上限求导. ④变上限的积分函数的奇偶性 10若函数f(x)为奇函数,则 为偶函数(f(x)的全体原函数f(x)为偶函数,则为奇函数 牛顿一莱布尼茨（Newton－Leibniz）公式 f(x)在区间[a, b]上连续, 则f(x)在[a, b]上. 本公式也称为微积分基本公式.使用本公式积分时,被积函数必须在积分区间[a, b]上连续定积分的换元积分法和分部积分法 换元积分法f(x)在区间[a, b]上连续,(t)满足下列 条件: 10φ(t)在区间[]上是单调连续函数; 20φ(α)=a, φ(β)=b; 30在区间[]上连续,. 注意: ①本公式从右到左相当于不定积分中的第一换元积分法; 从左到右相当于不定积分中的第二换元积分法;换元一定要相应地改变积分上、下限; ②证明定积分的等式成立时,为了改变被积函数与积分限,往往要采用换元法. ③当被积函数出现sinx或cosx时,计算定积分常用变量替换 利用三角函数的诱导公式化简被积函数后积分. 分部积分法在区间[a, b]上连续,则